自然数方幂和与伯努利数(上)

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2000年第2期自然数方幂和与伯努利数(上)吴振奎(天津商学院，300122)(注意图2中的,517、2与其相邻的带阴影部一．，l＼史、分图形相抵)可给出上述公式的两种几何解两千多年前希腊数学家毕达哥拉斯在研释㈨．究“形数”时已注意到了“三角形数”(排成三然而，上述公式的严格证明则是1834年角形状时的点数)：由Jacobi完成的．立方和公式给出大约一千年后(11世纪)阿拉伯数学家阿里·花拉子模给出：I+2+3+⋯+l3blOla⋯它们实际上涉及了1+2+3+4+⋯+72这1(72+1)(2+1)(3。+3一1)．类(从1开始的)相继

2、自然数和的问题(注意：对于一般自然数方幂和S()：1+2相邻两个“三角形数”和恰好是一个“正方形+3+⋯+的公式研究，则是近几百年才数”即完全平方数。这个结论为我们提供了计有了进展．算这类数和的一种方法)．13世纪我国数学家朱世杰在其所著<四阿基米德在计算抛物线图形面积时，已元玉锚>中发明了“垛积术和“招差术”，用以经求得自然数平方和公式：研究高阶等差级数求和问题L1J，他给出了公1+2+3。+⋯+式(用今天的数学符号表示)：吉n(+1)(2n+1)·亩r(，．+1)(r+2)⋯(r+一1)古希腊另一位数学家尼科梅切斯则给出(印度人阿耶波多的著作中也给出了该公(+)(+2)⋯(+)

3、··弋)：用它可以计算诸如：10+2。+33+⋯+。1+2+3+⋯+，1+3+6+10+⋯，：(1+2+⋯+)=[去(+1)]．1+4+10+20+⋯，1+5+15+⋯，1+6+21+⋯等所谓三角垛数和问题．此外，他还给出公式(用今天数学符号表示)：南，．(，．+1)⋯(，．+r图1图2(+1)⋯(+)从上面两图用不同方法计算它们的面积·[(P+1)+1]，维普资讯http://www.cqvip.com26中等数学◆用它可以计算四角垛(P=1)、岚峰垛(P=(这是他毕生钟爱的，因而他将此几何图形刻2)、三角岚峰垛等，其中四角垛即为在他的墓碑上)，还对某些级数(包括自然数方幂和)有

4、过深入的研究．由他的侄子出版的∑r=(+1)(+2)．<推想的艺术>一书中给出雅谷发现的公式：(书中他还给出了“高次招插法”，这一方法直S量()=1量+2量+3量+⋯+量，至1678年前后才出现在牛顿的著作中)当k=1，2，3，⋯时分别有法国人费尔马在研究曲边梯形面积计算时，由于沿用阿基米德的分割术从而导致他sl()=+罟，对自然数方幂和的研究(他在计算Y=．／7的面积时。以等距的纵标线将面积分成若干窄Sz()++詈，长条，且依据不等式．s，()++_n4Z，1+2+⋯+(一1)<兰一<1n+2n+⋯+n为了形式上的简洁与整齐，下面考虑◆且不断加密窄长条进行求积)1]．S(一1)的

5、表达式(注意，这里是S(一16世纪日本数学家关孝和将朱世杰的1)，即至一1项和)：“招差术”进一步推广，他在<括要算法>中给(一k+lSk(一1)-一一+()B：z等k-1出S()=1+2+3+⋯+一()BTT／k-3+．．·．的公式(他称之为“方垛积”，显然是沿用了朱这里B2=1世杰的称谓)．，B：一，B=，⋯(亦Sk()=南{T／k+l+1(k)可视为B0=1，B。=一，注意它仅有偶数+B。(走)一·B2(走)一项，即当≥1时B：+。=0，这种表示与我们一后文将要谈及的伯努利多项式一致而设定·+⋯}的．但有时为了简便计，有些文献将其记为这里的B，B：，“·与我们后文将要叙述的伯

6、B1：

7、百1B：一，B。=1⋯努利数相当lJ．，，请注意场合上述公式与荷兰数学家雅谷·伯努利在与差别)，人们称之为“伯努利数”(Bernoulli<推想的艺术>(又译为<猜度术>)一书给出的数)，它是一组理论和实际上都很重要的数公式别无二致(且几乎是同时给出的)．组．二、伯努利的发现其实，上述等式真正最早的发现者是德国人J．Fardhaber7】，但伯努利给出了它的严雅谷·伯努利(Bernoulli，Jakob)1654年格证明．生于瑞士巴塞尔一个商人世家，祖父是荷兰Bernoulli数表阿姆斯特丹的一位药商，1622年举家移居瑞令表示第k个Bernoulli数，则有士巴塞尔．◆雅

8、谷毕业于巴塞尔大学艺术系，但他酷B：=丢，B=，B=，B。=，B。。爱数学，一生中有过不少重要发现．比如他发=麦’Bl：=’B1=吾’Bl=，Bl。现了等角螺线(对数螺线)的许多有趣性质维普资讯http://www.cqvip.com2000年第2期27=酉43867’B20=，B2但f()在=0处无定义，故可令g()：=，B24=一则可消除这一奇异性．于是，可通过236364091，——一—B：=，B勰=’关系式23749461029D8615841276005一—