高等数学作业下-2 (答案)

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1、第八章习题答案8．1多元函数基本概念1．解：。2．解：3．解：（1）。（2）。（3）1。（4）。（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。）（5），且从而（6），且，所以原式。4．解：不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。5．解：⑴的定义域为。当，时的表达式为初等函数，故连续。当时，，即在时也连续。故的间断线为。⑵当时的表达式为初等函数，故连续。当时，，显然取不同值时得不同极限，即不存在，故在点不连续。⑶当时连续。当时，因，故，从而，即处处连续。8．2偏导数与全微分1.解：（1）。（2）。（3）。（4）.(5)当时，。时，。2．证：代入即得。3.证：同理，而由前次习题4（2）知

2、在不连续。4.证：，其中＜＜1，＜＜1，由题设当足够小时，，，故即在点连续。5．解：（1）；（2）；（3）；（4）。6．解：（1）取则。（2）取则。8．3多元函数微分法1．解：（1）；（2）；2.解：（1）；（2）；（3）；（4）。3.证：（1）。（2）,同理可得，故。4.解：恒等式两端微分，即，故。5．解：（1）。（2），。（3），。（4）时，故：同理时。故：。6．解：(1)在中视而得一恒等式，微分得：，即，（2）由（1），（2）消去整理得：。7．证：由隐函数求导法则：，（1），（2）因（1），（2）式均消去，且同乘以并相加得：。8．解：，故。8．4空间曲线的切线与法平面

3、，曲面的切平面与法线1．解：点对应参数，所以切线方程：，法平面方程：。2．解：将看成参数。在点切线方程：，法平面方程：。3．解：由得。在点处：。于是切线方程：。法平面方程：。4．解：及。5．解：由上题可知有两点和的切线平行于平面。在点切线方程：。在点切线方程：。1．解：切平面方程为，法线方程为：。2．解：令。由条件，解得，，代入中，，于是在点切平面方程为：。3．解：令,而平面的法向量为，由条件得，代入，。于是在点法线方程为。4．解：令，设在点的法线与三坐标轴成等角。在点的法线方向数为：，因法线与三坐标轴正向成等角，故有，又，由两方程解得两组解为及，即为所求。5．解：令，。在

4、曲面上任一点的切平面方程为：，切平面在三坐标轴上的截距分别为，其和为。8．5方向导数与梯度1．解：。（1）。（2），。令，得，故于是最大值。或求梯度，从而。1．解：向径，。2．解：（1）；（2）；（3），；（4）。3．解：，曲线在处的切线斜率为，故法线斜率为。内法线方向，，于是。4．解：。6．解：。8．6多元函数的极值1．解：驻点，函数有极大值。2．解：驻点，函数有极小值。3．解：令，得驻点，由于极大值一定存在，且驻点唯一，故函数有极大值：。4．解：设三个正数为：。令，得驻点，由问题的性质及驻点唯一知时，它们的倒数之和最小。5。解：设直角三角形的二直角边分别为和，则周长，但

5、满足条件：，＜＜，＜＜。令。可得，但只能取，从而得唯一驻点，由实际问题最大周界存在，且驻点唯一，故即为等腰直角三角形时有最大周界。6．解：设椭球和长方体在第Ⅰ卦限的交点为，则。令，得驻点，由于最大体积的长方体一定存在，且驻点唯一，故当时长方体体积最大，此时。7．解：设所求点为，则它到三已知直线的距离分别为，令。得驻点为，此时取极小值，且驻点唯一，从而为最小值，点即为所求。8.解：交线上的点到原点的距离为，令。得驻点及，故最长距离，最短距离。9.解：令故曲面上任一点处的切平面方程为：该平面在三坐标轴上的截距分别为，于是截距之积为，其中。作,得驻点，由问题的性质及驻点唯一知时，

6、曲面的切平面，使其截距之积最大。