弹簧活塞系统的仿真

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1、烟台大学学士毕业论文（设计）-14-1引言现代的科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程就是微分方程.从微积分理论形成以来，人们就一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断地取得显著成效.自从MATLAB/Simulink出现之后，人们更加容易地求解、描述微分方程，使得该类数学模型更加直观，更易操作.本文就是利用了MATLAB/Simulink对物理学中一类弹簧活塞的运动系统的问题进行了建模与仿真.首先给出了问题的数学模型（微分方程），然后讨论了该模型的可控性，最后使用MATLAB/Simulin

2、k对模型进行了图形描述，通过讨论图形的稳定性分析了输入函数（控制）的取值．烟台大学学士毕业论文（设计）-14-2预备知识2.1状态空间的基本概念1）状态表征系统运动的信息和行为.任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在时刻的状态由时刻的系统状态（初始状态）和时的输入唯一确定的．2）状态变量状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组．3）状态向量设系统的状态变量为，，…，，那么用它们作为分量所组成的一个列向量就成为状态向量，记作，并且状态的维数定义为其组成状态变量，，…，的个数，即dim=n．4）状态空间以状态变量，，…，为坐标

3、轴构成的维空间称为状态空间．5）状态方程指描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）．它表征了系统由输入引起的内部状态的变化的规律.连续时间系统状态方程的一般形式表示为，其中是连续时间系统的维状态变量；是连续时间系统的维状态变量；是维向量函数　　　．6）输出方程烟台大学学士毕业论文（设计）-14-是指描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间关系的代数方程.它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变化规律.连续时间系统输出方程的一般形式表示为，其中是连续时间系统的维输出向量；是维向量

4、函数，；其余定义同上．7）状态空间表达式是指状态方程与输出方程的组合，构成对系统动态行为的完整描述.系统状态空间表达式也称为动态方程.它表征一个系统完整的动态过程，连续时间系统的状态空间表达式一般形式为，通常，对于线性定常系统的状态空间表达式为　，其中维状态向量，维状态变量，系统矩阵，输入矩阵，输出矩阵烟台大学学士毕业论文（设计）-14-，直接传输矩阵　．2.2线性定常连续系统的能控性定义2.2.1设线性定常系统的状态方程为，．若存在一分段连续控制向量，能在内，将系统从任意的初态转移至任意终态，则系统完全能控.定理2.2.1线性定常系统完全能控的

5、充要条件为，其中，是能控性矩阵．2.3线性系统状态反馈控制律定义2.3.1设线性定常系统，状态反馈下受控系统的输入为，为反馈增益矩阵，为参考输入，将上式代入线性定常系统的状态空间表达式，得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式．烟台大学学士毕业论文（设计）-14-2.4李雅普诺夫稳定性理论定义2.4.11)自治系统不受外部影响即没有输入作用的一类动态系统.对于连续时间非线性时变系统，自治系统状态方程具有形式，其中为维状态，为显含时间变量的维向量函数.对于连续时间线性时不变系统，自治系统状态方程具有形式为．2)平衡状态对于连续时间非线性时变系统，其自治

6、方程满足属性，则称为平衡状态．3)初态设的解是，则称为状态方程的初态．2.4.2李雅普诺夫第一法稳定性定理设线性定常系统，则线性定常系统稳定性的判据如下，1)李氏稳定的充要条件为，2)渐进稳定的充要条件为，3)不稳定的充要条件为，烟台大学学士毕业论文（设计）-14-3问题的提出3.1问题的提出弹簧活塞系统属于控制系统的一类，要研究此类问题，需要先通过微分方程（组），传递函数，动态方程等建立其运动的数学模型.根据具体情况选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，利用牛顿定律，能量守恒定律等物理定律建立弹簧活塞系统的动态方程模型.然后利用MATL

7、AB中的Simulink来建立该系统的动态仿真．经过多次调试，最终是系统达到稳定状态．3.2问题描述图3.1是一个弹簧活塞系统,在稳定运行时，重力（质量）的作用将通过弹簧、活塞来维持平衡，由此，整个系统在外来因素力作用下的响应，就可利用相对于平衡状态的偏差量变化来描述，设图中、可分别表示为,相对于稳定工作点的位移量,系统：弹力为，的阻力为，的阻力为，利用牛顿定律即可建立弹簧活塞系统模型.图3.1弹簧活塞系统烟台大学学士毕业论文（设计）-14-4问题分析和建模由上图3.1,令输入为输入量，，的位移量，为输出量，选取状态变量，，，．根据牛顿定律对有，

8、对有，把，，，及代入上面两个式子，整理得状态方程为输出方程为写成矩阵形式为烟台大学学士毕业论文（设计）-14-烟台大学学士毕业论文（设计