数值计算方法在计算机科学中的应用和误差序列实验

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1、数值计算方法在计算机科学中的应用和误差序列实验《数值方法》实验报告1郑发进2012042020022【摘要】计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。测量值与真实值之间的差异称为误差，物理实验离不开对物理量的测量，测量有直接的，也有间接的。由于仪器、实验条件、环境等因素的限制，测量不可能无限精确，物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异，这种差异就是测量误差。误差是不可避免的，只能减小。关键词数

2、值计算方法、计算机科学、误差一、数值计算方法在计算机科学中的应用一、数值计算方法概述（一）数值计算方法属于计算数学的范畴，是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。由于近几十年来计算机的迅速发展，数值计算方法的应用已经普遍深入到各个科学领域，很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算，新的、有效的数值计算方法不断出现。现在，科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。所以数值计算方法既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其它学科的联系十分紧密。由于大量的问题要在计算机

3、上求解，所以要对各种数值计算方法进行分析，其内容包括：误差、稳定性、收敛性、计算工作量、存贮量和自适应性，这些基本的概念用于刻画数值方法的适用范围、可靠性、准确性、效率和使用的方便性等。当代实际的科学与工程计算中，计算问题往往是复杂的和综合的。但是有一些最基础、最常用的数值计算方法，它们成为通常大学数值计算方法课程的内容。本书主要讨论这些方法及其分析，它们包括逼近问题（函数的插值和逼近，数值积分和微分），线性代数问题（方程组和特征值问题）和非线性方程及方程组的数值解法问题，以及常微分方程的数值解法等。这些是数值计算方法最基础的内容，不仅可以直接应用于实际计算，同时也是其它数值计算问题所用到的

4、方法及其分析的基础。（二）数值计算方法（或称计算方法）是研究数学问题求数值解的算法和有关理论的一门学科，它的理论与方法随计算工具的发展而发展。在古代，人类研究的数学问题几乎总与计算有关，而计算工具的简陋，使求解问题受到很大限制。现代科学技术日新月异，尤其是计算机技术飞速发展，人类可以用计算机进行复杂的数值计算、数据处理（包括图形，图像，声音，文字），计算机不仅是现代计算工具，而且已成了我们工作环境的一部分。计算方法《数值方法》实验报告2所研究的内容是用计算机解决数学问题的方法（包括算法）和理论。用计算机进行数值计算的核心是算法设计。算法是对解题方案的准确描述，是“解题的操作序列”。在研究算法

5、时，离不开误差分析，同时还需要考虑算法的稳定性、收敛性、计算工作量等问题。（三）计算方法是计算数学的一个主要部分。而计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现。计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适用于计算机的数值方法。因此，计算方法的内容十分广泛。但本书作为计算方法的基础，只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括线性方程组与非线性方程求根、插值与最小二乘拟合、数值积分与常微分方程数值解法等。这些都是计算数学中最基础的内容。近几十年来由于计算机的发展及其在

6、各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法。因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科。二、数值计算方法研究的对象、任务与特点计算数学作为数学科学的一个分支，当然具有数学科学的抽象性与严密科学性的特点，但它又具有广泛的应用性和边缘性特点。现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科

7、学计算是一门工具性。方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机（包括其软硬件系统），其理论基础主要是计算数学。计算数学与计算工具发展密切相关，在计算机出现以前，数值计算方法只能计算规模小的问题，并且也没形成单独的学科，只有在计算机出现以后，数值计算才得以迅速发展并成为数学科学中一个独立学科——计算数学。当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步，计算机与计算方法的发展是相辅相