自动控制课程设计

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1、摘要利用根轨迹法，可以根据已知开环系统极点、零点分布的基础上，当一个或某些系统参数的变化时，确定闭环极点随参数变化的轨迹，进而研究闭环系统极点分布变化的规律。应用根轨迹法，只需进行简单计算就可得知系统一个或某些系统参数变化对闭环极点的影响趋势。这种定性分析在研究系统性能和提出改善系统性能的合理途径方面具有重要意义。【关键词】：闭环特征方程，根轨迹，零极点分布，mtlab仿真一．设计题目已知某单位反馈系统的开环传递函数为：要求：绘制系统的闭环根轨迹，并确定使系统产生重实根和纯虚根的开环增益k。二．设计目的1、正确理解

2、根轨迹的概念；2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹；3、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势4、熟练使用MATLAB工具绘制系统的根轨迹5、最后了解根轨迹在分析系统性能方面的应用；三．设计说明1.所谓根轨迹是指，开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在s平面上的轨迹称为根轨迹；2.特征方程出现重根只是形成根轨迹分离点或会合点的必要条件，但不是充分条件。只有位于根轨迹上的那些重根才是实际的分离点和会合点。根据规则6可求出控制系统根轨迹实际的分离点和会合点即重实根；3.使系

3、统产生重虚根的开环增益K即为临界增益K，可由规则8得出。实际上若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着的数值使闭环系统处于临界稳定状态。四．设计思路1.理论分析计算过程如下:由根轨迹的绘制法则，绘制题目要求根轨迹（1）由规则1，给出的控制系统满足绘制根轨迹的形式要求，即:;（2）由规则2，有三条根轨迹的分支，三条都终于∞处，起点为开环极点：p1=0，p2=-100，p3=-50，由于没有开环零点，根轨迹仅有无限零点；（3）由规则3，实轴上的[-50,0]和[-∞,-100]间的线段为根轨迹；（4）由规

4、则4，有两条根轨迹对称于实轴；（5）由规则5，可作出根轨迹的渐近线，根轨迹的渐近线与正实轴的夹角分别为：渐近线与实轴的交点为:（6）由规则6，控制系统根轨迹的分离点为:由系统的闭环特征方程可得:=由方程解方程得：（根据根轨迹在实轴上的分布可知，s1是根轨迹的实际分离点），相应的k值为：k=9.62（舍去）（7）由规则8，系统的特征方程为：根据方程列劳斯表如下：S30.00021S20.03kS1S0k临界稳定时：k=150代入辅助方程得：0.03s2+150=0即s2+5000=0综合以上绘图规则，可绘制根轨迹如下

5、图所示：2.由理论分析和该单位反馈系统的根轨迹图可知：（1）当临界开环增益K=150时，有纯虚根；（2）当相应的k值为：k=9.62时（s1是根轨迹的实际分离点），即有重实根。五．MATLAB仿真运行1.在MATLAB命令窗口输入的命令及创建的GUI界面如下：clearall;n=1;d=conv([1,0],conv([0.01,1],[0.02,1]));s=tf(n,d);rlocus(s);[k,poles]=rlocfind(s)title('根轨迹图');xlabel('实轴');ylabel('虚轴'

6、);2.运行以上程序点gui界面中的按钮即可得到系统的根轨迹如下图所示：（1）在计算机上三条不同颜色的轨迹代表三条根轨迹，图中的“o”代表开环零点，“x”代表开环极点。（2）将鼠标置于根轨迹上的任意位置，根轨迹图上出现一个十字可移动光标，将光标的交点对准根轨迹单击左键，利用rlocfind命令，可求出当k=9.62时闭环系统的两个极点重合在实轴上，输出结果如图所示，极点以“+”表示。在“+”处单击右键，就得到图中结果，表示的意义如下：系统名称：S该点增益=9.62该闭环极点的位置：（-21.1）该点的阻尼系数：1单

7、位阶跃的超调量：0无阻尼自由振荡角频率：21.1rad/s（3）利用rolcfind命令，还可求得当k=150时，闭环系统有一对极点位于虚轴上用“+”标出，系统处于稳定边界，即有纯虚根。（4）在“+”处单击右键，就得到图中结果，表示的意义如下：系统名称：S该点增益=150该闭环极点的位置：（）该点的阻尼系数：-0.0029单位阶跃的超调量：101无阻尼自由振荡角频率：70.7rad/s（5）进一步减小K值，会看到其中一个极点将沿实轴向原点靠拢，如图所示暂态响应越来越慢。此时出现一对复极点。六．结论分析闭环系统的稳定

8、性完全取决于闭环极点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极点，每一个闭环极点Pi在s平面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。极点分布于S平面上不同位置所对应的暂态分量，其规律可以总结如下：1）左右分布决定终值。具体就是：Pi位于虚轴左边时，暂态分量最终衰减到零；Pi位于虚轴右边时，暂态分量一定发散；Pi正好位于虚轴（除原点）时，暂态分量为等幅振荡