复变函数第七章学习指导

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1、复变函数第七章学习指导一、知识结构二、学习要求⑴理解解析函数的映射性质；⑵了解幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质；⑶理解分式线性变换的映射性质；⑷会求将区域映射为的共形映射。三、内容提要解析函数的保域性定理7.1若函数在区域内解析，且不是一个常数，则的象是区域．解析函数的保角性定义7.1设映射在区域内连续，若它使通过点的任意二有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变，则称该映射在点是保角的．若映射在区域内的每一点都是保角的，则称该映射为区域内的保角映射，或称该映射在内是保角的．定义7.2若映射

2、在区域内是单叶且保角的，则称该映射为区域内的保形映射，或称该映射在内是保形的．定理7.2若函数在区域内解析，则它在导数不为零处是保角的．定理7.3若函数在区域内单叶且解析，则它在内是保角的．　　单叶解析函数的保形性定理7.4若函数在区域内单叶且解析，则　　⑴是区域内的保形映射，且的像为区域；　　⑵的反函数在内单叶且解析，并有几个初等函数的映射性质　　⒈(为常数)的映射性质：　　⑴是一个平移变换．　　⑵在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有．　　⑶将圆周映射为圆周．　　⒉(为常数，且)的映射性质：

3、⑴是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．　　⑵在复平面上处处是保角的．这是因为，在复平面上处处成立．　　⒊的映射性质：　　⑴该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称．　　⑵在复平面上除外，处处是保角的．　　⑶将圆周映射为圆周．对于平面上的圆周（或直线）映射当时，将圆周映射为圆周；当时，将圆周映射为直线；当时，将直线映射为圆周；当时，将直线映射为直线．　　⒋幂函数与根式函数的映射性质：1）幂函数为大于1的自然数　　⑴设为射线，经映射后的像为平面上的射线

4、．　　⑵设为圆周，经映射后的像为平面上的圆周．　　⑶将模相同而辐角相差的整数倍的点与映射为同一点．　　⑷将映射为．1）根式函数为大于1的自然数根式函数的每个单值支具有将角形区域的张角缩小的映射性质．　　⒌指数函数与对数函数的映射性质：1）指数函数⑴设为平行于实轴的直线，经映射后的像为平面上的一条始于原点的射线．　　⑵设为线段：，经映射后的像为圆周．　　⑶设为：，为整数，经映射后的像为平面上从原点起始沿正实轴剪开的平面．2）对数函数对数函数的每个单值支具有将角形区域映射成平行于实轴的带形区域的映射性质．分式

5、线性变换的映射性质称变换（7.7）为分式线性变换，其中的为复常数，且．（7.7）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成．　　⑴保形性定理7.5()在扩充复平面是保角的．定理7.6在扩充复平面是保角的．由于分式线性变换在扩充复平面是单叶的，所以得定理7.7．定理7.7分式线性变换在扩充复平面是保形的．　　⑵保圆周性定理7.8分式线性变换将扩充复平面上的圆周或直线映射为扩充复平面上的圆周或直线．　　⑶保对称点性定理7.9设为分式线性变换，若扩充平面上两点与关于圆周对称，则与两点关

6、于圆周对称．　　⑷保交比性定理7.10若有分式线性变换则其中，定理7.11若分式性性变换将扩充复平面（平面）上三个互异的点映射为扩充复平面（平面）上的三点，则此分式线性变换就惟一确定，且可写成（8.11）定理7.12若为扩充复平面上的一个单连通区域，其边界点不止一点，则必存在单叶、解析函数将映射为单位圆；又若对内某一点满足条件且则函数是惟一的．定理8.13设单连通区域与分别是简单闭曲线与的内部，若函数在上解析，且将双方单值的映射为，则函数在内单叶且将映射为．由于要求将点映射为点，而关于平面上的实轴与点对称

7、的点是，关于平面上的圆周与点对称的点是，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，拟求映射除应将点映射为点外，还应将点映射为点．又因所求映射是分式线性变换，故可构造为为待定系数为确定，只须利用该变换需将实轴上的点映射为单位圆周上的点的事实，即当时，有由此得为任意实数．至此，便得为任意实数（7.12）经验证，（7.12）式即为所求．事实上，当时，由（7.12）式得又（7.12）式是分式线性变换，故（7.12）式将平面上的实轴（上半平面的边界）映射为平面上的圆周（单位圆的边界）．又由于当时，由（7.12）式得，

8、而该点位于圆中，所以，由保域性定理（定理7.1）可知，（7.12）式将映射为，且将点映射为点．至于（7.12）式是分式线性变换是明显的，故（7.12）式即为所求．四、典型例题例1试求将点分别映射为点的分式线性变换．解令，，则由（7.11）式得即为所求．例2(1)试求在映射下，平面上的直线及的像曲线．（2）在这两条曲线的交点处是否保角？旋转角、伸缩率是多少？解令，，则映射变为(1)z平面上的直线：在平面上的像曲线是：，它是平面上