代数几何学习经验45996

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1、代数几何学习经验45996二十四桥仍在，波心荡，冷月无声。山光悦鸟性，潭影空人心。相顾无相识，长歌怀采薇。祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。知己知彼，百战不殆。古典代数几何起源于19世纪末，20世纪初得到充分的发展。这篇帖子没有借助任何参考书目，仅仅是我头脑中的记忆堆积出来的，因此，如果有不同理解，或者我讲错了，请见谅。因为我忘了很多了。古典代数几何的发展主要是仿射簇和投射簇的研究，以及后来渐渐发展的代数簇。直到现在，代数簇理论仍然是非常有用的方法，所以喜欢代数几何的不要盲目的崇尚现代代数几何理论，因为概型的直观性要大大少于代数簇。最先引起我们注意的是仿射簇（affinevariety）

2、，用几何的语言叙述，那是affinespaceAn里面由一些代数方程的公共零点集(zerolocusset)。因此我们考虑An上的代数方程构成的多项式环k[x1,..xn]及其理想，容易定义V:{I/I为理想}->An为公共零点集，I:An->{I/I为理想}为生成理想。（k为代数闭域！）我们得到的第一个重要理论是nullstellensatz定理（零点定理）：I(V(I))=rad(I)(即I取radical)这个使得我们将理想和代数集一一对应。另一个较弱的形式是说对于任何极大理想m，k[V]/m总是k的代数扩域，由于我们已经假设k是代数闭的，因此k[V]/m同构于k，所以任何仿

3、射簇V，k[V]总是k和m的直和（作为k模），这是我们研究局部性质的基础。我们不能总是将V作为嵌入在放射空间的子集来看待，我们需要更本质更内蕴的方法。（我认为这是很重要的数学思想，寻找内蕴的性质）现在大部分参考书采用的方法是给与一个Structuresheaf来定义。于是，我们说一个affinevariety，总是指一个ringedspace(具有层结构的拓扑空间)。通过一系列形式推导（具体看任何一本参考书），我们得到了一个很漂亮的最基本的定理：affinevariety范畴反变(contravariant)等价于affinek-algebra范畴。范畴等价意味着我们可以抛开几何，

4、只看代数范畴，可以弄清全部具有范畴性质的几何结构（比如product,coproduct，zariski拓扑结构，维度等）特别的，我们观察monic和epic可以发现，代数簇间一个象稠密的映射是epic，对应一个单代数同态，同样，代数簇间一个openimmersion是monic，对应一个满代数同态。更广泛的，我们不仅考虑投射簇，考虑更一般的代数簇，使得投射簇作为它的特例。我们定义：一个代数簇就是一个T0ringedspace，在每一点拥有一个开集ringedisomorphictoanaffinevariety.这个定义显然包含了投影簇，于是我们利用类似的方法可以得到大量投影簇的

5、性质和定理。最后，我想说的是，通过古典代数几何的发展，我们第一次得到代数和几何的紧密交融，几乎全部交换代数定理都有明显的几何意义，比如noether正规化定理意味着任何不可约仿射簇能够满射到同等维度的放射空间，going-up,going-down定理，zariski主要定理（都是重要的定理）的几何解释也是明显的。不停的交换“代数和几何的观点”有助于融合它们，因为它们基本上是交汇的。借用eisenbud交换代数书的开篇语作为结束：algebraiswrittengeometry,geometryisdrawnalgebra.(本人水平有限，请不要过于苛责,哈。)强烈推荐一本[Ive

6、rsen]的cohomologyofsheaves非常强悍的工具，其他书里很多大定理可以象切豆腐一样搞定。看完后能够让你手中的剑变得锋利无比。概型，层论和平展上同调同古典代数几何帖子一样，这也是我个人的记忆堆积出来的，我尽量写的更好一点，如果有错误和偏见，望见谅，这只是属于我自己个人的一篇短文。在grothendieck创造scheme之前，sheaftheory已经有了巨大的进步，sheafcohomology被完好的定义出来。这对于上同调理论是一个巨大的进步，和之前的derhamcohomology,cechcohomology,cellularcohomology,singu

7、larcohomology可以被极好的统一在sheaf里面，特别的，任给一个sheaf能够构造一个cohomology，这使得上同调变得象函数一样重要且可构造。构造上同调已经成为一种数学思维，如algebraicK－theory等。简单说一下定义，对于C，D两个范畴，定义presheaf范畴为D^C^op，就是C^op到D的函子范畴（functorcategory）。进一步，我们定义sheaf范畴。设C为grothendiecksite(具有grothendieckt