复 多重多因衰减模型

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1、同单调相依结构下一类复合生命衰减概率分布王志坚暨南大学经济学院统计学系摘要：在寿险实务中，处理涉及多个生命的问题时常假设各生命间是相互独立的，但事实上，因为受某些相同因素影响导致生命间存在一定的正相依性,而同单调是一种极端的相依结构。本文给出复合生命在同单调结构下受多个减因影响的一类概率分布。关键词：同单调；概率分布；衰减中图分类号O211.9文献标识码：AAMSSubjectClassification(2000):60K05;62P05;90A46Asortofdecrementmodelformulti-lifeandmulti-causesundercomonoton

2、icdependencestructureWANGZhi-jianWANGdabu-xilatu(Schoolofmathematicsandinformationsciences,Guangzhouuniversity,Guangzhou,510006)Abstract:Inpracticeoflifeinsurance,whenmorethanonelifeareinvolvedtheyareoftenassumedtobeindependent.However,itisdeemedtobepositivelydependentamonglivesastheyareaff

3、ectedbysomesamefactors.whilecomonotonicityistheextremedependent.Inthispaper,wegiveasortofprobabilitydistributionmodelformulti-lifebasedonthecomonotonicitydependentstructurewithmulti-decrementcauses.Keywords:Comonotonicity;probabilitydistribution;decrement1引言传统的保险精算方法基于风险间的独立性假设，利用大数定理和中心极限定

4、理，保险公司可以通过风险集中来有效的管理和控制风险。然而,正如[1][2]所提到，很多情况下，风险并不独立，他们之间存在着复杂的相依关系。文[3]给出了同单调结构下的两重生命只受死亡影响的概率分布，然而实际中导致模型的终止还有除死亡以外的其他减因。文[8]将上述两重生命推广到多重生命，但减因还只是死亡。文[7]给出了同单调结构下两重复合状态生命模型，但文中没有涉及到重复合生命的情况。文[4][5][6]均给出了单生命在多个减因衰减下的概率分布，至于多个生命在多个减因下的衰减文中并未涉及。本文给出多重多因衰减模型，这个模型适用于夫妻险、家庭合险、某公司雇员的团体险等受到残疾、死

5、亡、退休及辞退等多个衰减原因的共同影响，推广了单生命多因和多生命单因衰减模型，弥补了前面几个模型的不足。2．预备知识112．1单生命多因衰减概率分布假设存在两个年龄为和的生命，记为和，他们的未来生存时间（余寿）均为概率密度存在的连续型随机变量，分别记为和，衰减时间可能是个体的死亡时间也可能是其他原因导致模型终止时间。我们也用表示模型的衰减时间，为方便起见，先讨论只有两个减因导致模型的终止，且这两个减因相互独立，则：，其中，表示由减因1导致模型的终止时间，，表示由减因2导致模型的终止时间。先引入以下几种单生命精算表示法：：个体在未来时刻之前由于原因而衰减的概率；：个体在未来时刻

6、之前衰减的概率；：个体在未来时刻之前未衰减的概率。在多元衰减模型中，对每个减因都可以定义一个单元衰减模型，称其为相关单衰减模型[5][6]，也称为由减因引起的绝对衰减率，记为，它与有所不同，前者是单独考虑衰减原因的一元衰减模型的衰减概率，后者是考虑多个衰减原因共同作用下，因衰减原因而衰减的概率。2．2独立情况下多重多因衰减模型在保险实务中，一些保单涉及到多个被保险人，保险金的给付取决于每个个体的生存状况，本节考虑两重生命受两个减因影响的情况，假设此二生命相互独立。状态：当个体和都存活时该状态存在，只要有其中一个个体死亡时该状态即终止，称此状态为联合生存状态状态：当个体和只要有

7、一个个体生存时，该状态即存在，称此状态为最后生存者状态。基于此定义显然有下式成立：11上式的直观意义：两个生命组成的联合生命状态，暴露在两个减因下，当其中一个生命衰减时，联生状态即终止，而对于每个生命来说，其衰减时间也即为在减因一或减因二作用下的最短的时间，所以联生状态的余寿即为，，，中最小的一个，这个意义有助于我们对多重多因模型的理解。由的定义有：则，所对应的概率密度函数分别为：同理可得：11死亡力函数：3．主要结果3.1同单调两重两因模型假设多重生命中涉及到的各个生命总是受到一些共同因素的影响，从而