1.3.3 全称命题与特称命题的否定 (2)

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1、高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家第一章常用逻辑用语1.3.3全称命题与特称命题的否定一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）"xÎR，x2

2、-2x+1≥0分析：（1）"，否定：存在一个矩形不是平行四边形；（2），否定：存在一个素数不是奇数；（3），否定：$xÎR，x2-2x+1<0；这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.三、师生探究问题2：写出命题的否定（1）p：$x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1）"xÎR，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合

3、的运算观点剖析：,四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P："xÎM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：$xÎM，使P（x）成立；其否定命题┓P为："xÎM,有P（x）不成立。用符号语言表示：P:"ÎM,p(x）否定为ØP:$ÎM,ØP（x）P:$ÎM,p(x）否定为ØP:"ÎM,ØP（x）在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.关键量词的否定-3-www.ks5u.com版权

4、所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家词语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立五、巩固运用例1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p："xÎR，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：$x∈R，x2－x+1＝0；解：（1）ØP：有的人不晨练；（2）$x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）"xÎR，x2－x+1≠0；例2写出下列命题的否定。

5、（1）所有自然数的平方是正数。（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。（4）的否定：所有的质数都不是奇数。解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。例3写出下列命题的否定。（1）若x2＞4则x＞2.。（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数

6、根。（3）可以被5整除的整数，末位是0。（4）被8整除的数能被4整除。（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。（完整表达为对任意的实数x,若x2＞4则x＞2）（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。（4）-3-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8

7、整除的数都能被4整除)（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）例4写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。　（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b