2012年高考试题分类考点37 空间直角坐标系、空间向量及其运算

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1、考点37空间直角坐标系、空间向量及其运算一、解答题1.（2012·北京高考理科·Ｔ16）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.ABCDECBEDA1M图1图2【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系，建系，利用向量法求解.【解析】（1），，又.（2）

2、由（1）可知，两两互相垂直，分别以它们为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则,，设平面的法向量为，由，令，得，-4-设所求线面角为，则，，，.（3）假设存在这样的点P，设点P的坐标为(m,0,0)，3,,,设为平面的法向量，由，令，得，又垂直，，解得（舍去）.所以不存在点P.2.（2012·辽宁高考理科·T18）如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点.(Ⅰ)证明：∥平面;(Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值.【解题指南】（1）由中点联想到中位线，据中位线和底边平行，解决问题；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求的值【解析】（1）连接,由已知得M为的中点，又N为的中点，所以MN为三

3、角形的中位线，故∥,又-4-因此（2）以A为坐标原点O，分别以直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，则,从而所以设是平面的一个法向量，由得取，则，故设是平面的一个法向量，由得取，则，故因为为直二面角，所以.3.（2012·天津高考理科·Ｔ17）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，∠BCA，.(Ⅰ)证明丄；（Ⅱ）求二面角的正弦值；-4-（Ⅲ）设E为棱上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为，求AE的长.【解题指南】建立空间直角坐标系应用空间向量证明垂直关系、求空间角较简捷.【解析】方法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1

4、,0),B，P（0,0,2），（Ⅰ）易得于是，所以PC⊥AD.（Ⅱ）设平面PCD的一个法向量则不妨令，可得，可取平面PAC的一个法向量，于是从而所以二面角A-PC-D的正弦值为.（Ⅲ）设点E的坐标为（0,0,h）,其中，由此得由故，所以，解得，即.-4-