用双线性变换法设计iir数字低通滤波器课程设计

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1、V=课程设计报告书姓名：班级：学号：时间：设计题目用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器设计要求1.通过实验加深对双线性变换法设计IIR滤波器基本方法的了解。2．了解MATLAB有关双线性变换法的子函数。3．掌握用双线性变换法设计数字低通滤波器的方法。本次课程设计是采用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR数字低通滤波器，其中要求通带截止频率为ωp=0.25π;通带最大衰减Rp=1dB;阻带最小衰减As=15dB;阻带截止频率ωs=0.4π;滤波器采样频率Fs=100Hz.设计过程摘要：根据IIR滤波器的特点，在MATLAB坏境

2、下用双线性变换法设计IIR数字滤波器。利用MATLAB设计滤波器，可以随时对比设计要求和滤波器特性调整参数，直观简便，极大的减轻了工作量，有利于滤波器设计的最优化。关键词：双线性变换法，数字滤波器，MATLAB，IIR1.设计原理与步骤1.1设计原理滤波器的种类很多，从功能上可分为低通、高通、带通和带阻滤波器，每一种又有模拟滤波器和数字滤波器两种形式。如果滤波器的输人和输出都是离散时间信号，则该滤波器的冲击响应也必然是离散的，这种滤波器称之为数字滤波器。数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到

3、频域滤波的目的。数字滤波器也是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置，其输入、输出均为数字信号，实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差

4、分方程为：（1-1）（1-2）设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。本次课程设计采用双线性变换法。1.2设计步骤：(1)将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；(2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器H(s)；(3)在按一定规则将H(s)转换为H(z)；若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束，若所设计的是高通、带通或者带阻滤波器，那么还有步骤：(4)将高通、

5、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤(2)设计出模拟低通滤波器H(s)，再将H(s)转换为所需的H(z)。2.设计方案IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为（1-3）假设M≤N，当M＞N时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。实现IIR

6、数字滤波器的设计有双线性变换法和脉冲响应不变法两种基本方案，现在就对两种基本方案的优劣进行具体论证，从而说明选择方案一的理由。方案一：双线性变换法设计IIR数字滤波器双线性变换法主要是采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1

7、所示。图1双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现（1-4）式中,T仍是采样间隔。当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（1-4）写成将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得（1-5）再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z=es1T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：（1-6）（1-7）式（1-6）与式（1-7）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两

8、个线性函数之比，因此称为双线性变换式（1-5）与式（1-6）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。首先,把z=ejω，可得（1-8）即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将s=σ+jΩ代入式（1-8），得因此由此看出，当σ<0