数学专业本科毕业论文定稿

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1、关于无穷小量进行无限次运算的探讨数学与计算机科学学院数学与应用数学专业【摘要】无穷小思想在微积分和数学分析的早期发展中起着重要作用，也是理解微积分的一个关键性概念.对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述，是现今数学领域的一个引人注意的课题.无穷小量是高等数学中的一个重要概念，它在高等数学中占有很高的地位．当运算从有限变到无限时，很多在有限运算中成立的结论在无限运算中却不成立．无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小就说明了这一点．对于这个问题，很多人做了研究，并举出了一些例子.但这些例子并没有概括无穷个无穷小乘积的所有情形．本文先阐明了无穷小量的历史发展过程

2、，理清无穷小量的概念与性质.从无穷小量的代数和与积两个方面对无穷小量的无限次运算进行进一步完善的探讨.给出了无限个无穷小量代数和与积仍为无穷小量的条件.【关键词】无穷小量；无限次代数和；无限乘积目录关于无穷小量进行无限次运算的探讨I1课题背景与发展概况11.1课题背景11.2无穷小量的发展史12无穷小量的概念及基本性质22.1无穷小量的概念22.2无穷小量基本性质23无穷小量进行无限次运算的探讨33.1无限个无穷小量的代数和33.1.1举例说明无限个无穷小量的代数和33.1.2无限个无穷小量的代数和为无穷小量的条件43.2无限个无穷小量的积43.2.1无限个无穷小

3、数列的积43.2.2无限个无穷小函数列的积53.2.3无限个无穷小量积为无穷小量的条件64结束语8参考文献8-9-1课题背景与发展概况1.1课题背景极限与无穷小量是微积分学的基础概念之一.它们不但贯穿了整个微积分学，同时为后续课程的学习打下了扎实的基础知识．它们的重要意义在于微积分、微分学、积分学中等一系列概念都是建立在极限与无穷小的基础上.从历史上看，建立极限与无穷小量的概念，并不是一帆风顺的．是经过漫长的历史时期，不乏在数学界经过激烈的争论，在第二次数学危机下,由柯西逐渐完善的.可以这样说:没有极限与无穷小量就没有微积分学.无穷小思想在微积分和数学分析的早期发

4、展中起着重要作用，也是理解微积分的一个关键性概念.对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述，是现今数学领域的一个引人注意的课题.例如上世纪A．Robinson建立了“非标准分析”，被视为一个重要数学进展.无穷小量是高等数学中的一个重要概念，它在高等数学中占有很高的地位．在对无穷小量性质的理解中，学生能够理解有限个无穷小的乘积是无穷小，但却主观上认为无穷小乘无穷小会“越变越小”，因而错误认为无穷个无穷小也是无穷小．而事实并非如此．当运算从有限变到无限时，很多在有限运算中成立的结论在无限运算中却不成立．无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小就说明了这一点．对于这

5、个问题，很多人做了研究，并举出了一些例子.但这些例子并没有概括无穷个无穷小乘积的所有情形．为此，本文对这个问题的进行进一步全面的探讨.讨论无穷小量无限次运算，包括无限个无穷小量代数和与积.1.2无穷小量的发展史人们对无穷小量的认识已经经历了几千年漫长而曲折的过程，正如Hilbert所指出的：“无穷!还没有别的问题如此深地打动人们的心灵；也没有别的想法如此有效地激发人的智慧；更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清.[1]西蒙·辛格.费马大定理[M].上海:上海译文出版社,1998.1]他还指出“数学是处理无穷的科学”．数学史上所谓3次危机都与无穷有关，它在本质上源于

6、人们对无穷的认识不断深入的过程中所引起的认识上的困难．我们可以把到目前为止人们对无穷小的认识大体上分为以下5个阶段．[2]匡继昌.微积分和无穷小量的哲学思考[J].数学教育学报.2007,16(2):1-3.第一，对无穷小认识的初级阶段是早在公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派为了解决不可公度的问题，提出了“原子论”作为一种非常小的度量单位．此后，无穷小伴着古希腊的“穷竭法”，卡瓦列利的“不可分量原理”，促使微积分方法的萌芽和发展．在我国，则有战国时期(公元前446-256年)的分杵原理，即惠施提出的“一尺之杵，日取其半，万世不竭”等．第二阶段是以微积分的诞生为标志

7、，对无穷小量的认识经历了三百年左右的曲折认识，到19世纪才将无穷小量作为其极限为零的变量使用．这是属于潜无穷的认识阶段．承认潜在可实现性抽象在逻辑上可以导出数学归纳法原理．第三，19世纪70年代集合论的建立，使人们对无穷小量的认识进入到实无穷阶段．实无穷抽象作为一种深远的理想化所生成客体的“现实性”并不是直接的.在逻辑上，承认实无穷抽象导致承认排中律而把它作为一条逻辑原理．第四，20世纪60年代的非标准分析将实数域扩大到超实数域，其中每一个通常的实数看成是超实数的标准部分，它的周围聚集着无穷小邻域即单子，对单子结构的分析，是认识无穷小的一个本质的进步．但这种认识仍

8、有其时代的