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1、实验三非线性回归分析（2学时）一、实验目的（1）、掌握非线性回归分析的基本步骤；（2）、熟练用MATLAB软件实现可线性化的回归分析及曲线回归分析。二、实验学时：2学时三、实验要求（1）掌握用MATLAB软件实现可线性化的回归分析及曲线回归分析；（2）掌握非线性回归分析的基本步骤。四、实验原理1、常见的可线性化模型(1)双对数模型(2).半对数模型①对数-线性模型:②线性-对数模型:(3).倒数模型①②(4)逻辑(logistic)成长曲线模型（5）龚伯斯（Gompertz）成长曲线模型(6)多项式模型①一元二次多项式模型：10②一元三次多项式模型：③二元二次多项
2、式模型：2、不可线性化模型（即曲线回归模型）：其中f为非线性的，并且模型不可线性化。一般使用非线性最小二乘估计方法，并用Newton迭代求解其中的正规方程组。五、实验举例例1、对GDP（国内生产总值）的拟合。选取GDP指标为因变量，单位为亿元，拟合GDP关于时间t的趋势曲线。以1981年为基准年，取值为t=1,1998年t=18,1991-1998年的数据如下：年份tGDP年份tGDP14862.41018547.925294.71121617.835934.51226638.1471711334634.458964.41446759.4610202.215584
3、78.1711962.51667884.6814928.31774462.6916909.21879395.7解：第一步：一元线性回归模型（一）程序如下：建立test3_1_1.m文件如下（具体注释见m文件）：%%%%%%%%作时间t与GDP（y）的回归分析[data,head]=xlsread('test3_1.xlsx');%导入数据10t=data(:,1);%提取年份ty=data(:,2);%国内生产总值plot(t,y,'k.');%画y与t的散点图xlabel('年序号（t）')ylabel('GDP（y）')%调用robustfit函数作稳健回归，
4、返回系数的估计值b和相关统计量stats[b,stats]=robustfit(t,y)stats.p%%%%%%绘制残差与权重的散点图%%%%%%%%%%%%%%%figure;plot(stats.resid,stats.w,'o')%绘制残差与权重的散点图xlabel('残差')ylabel('权重')%%%%%%%画robustfit函数对应的回归直线%%%%%%%%%%%%%tdata=[ones(size(t,1),1),t];%在原始数据t的左边加一列1yhat=tdata*b;%求robustfit函数对应的y的估计值figure;plot(t,y
5、,'ko')%画原始数据散点holdonplot(t,yhat,'r--','linewidth',2)%画robustfit函数对应的回归直线，红色虚线xlabel('年序号（t）')ylabel('GDP（y）')（二）实验结果与分析：（1）散点图图3.1年序号t与GDP(y)的散点图10从散点图可以看出t与y的线性趋势并不明显，但可以考虑进行一元线性回归。（2）调用robustfit函数作稳健回归，返回系数的估计值b和相关统计量stats的P值‘系数的估计值’P值1.0e+04*-1.34100.02270.44140.0000稳健回归得出的回归方程为y^=
6、-13410+4414*t。常数项和回归系数的t检验的p值只有一个小于显著性水平0.0001，可知线性关系是不显著的。（3）下面作出残差向量和权重向量的散点图，从直观上了解残差和权重的关系。图3.2残差和权重的散点图从图3.2可以看出残差绝对值越大，其权重就越小，残差为零时，相应的权重为1，这就保证了拟合的稳健性。此处残差的数量级为104，从而残差绝对值太大，可知明显拟合效果不好。下面作出拟合效果图，如图3.3所示。10图3.3原始数据散点与回归直线图从上图可知：拟合效果明显很不好。原始数据点偏离回归直线距离太大。下面进行复合函数模型的拟合，并进行拟合效果比较。第
7、二步：作复合函数模型(1)散点图：图3.4年序号t与GDP(lny)的散点图10从图3.4的散点图表明年序号t与lny的线性趋势比图3.1的线性趋势明显。（2）调用robustfit函数作稳健回归，返回系数的估计值b和相关统计量stats的P值'系数的估计值''检验的P值'8.18961.0e-16*0.17560.00000.9250稳健回归得出的回归方程为lny^=8.1896+0.1756*t。常数项和回归系数的t检验的p值分别为0，0.925×10-16，均小于显著性水平0.0001，可知线性关系是极显著的。（2）绘制残差与权重的散点图图3.5残差与权重的
8、散点图与图
