全国初中数学联赛金牌教练讲座：第十四讲 多边形的边角与对角线

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1、兰州第十中学数学组2013年最新八年级数学竞赛讲座第十四讲多边形的边角与对角线边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识．多边形的内角和定理反映出一定的规律性：(n－2)×180°随n的变化而变化；而多边形的外角和定理反映出更本质的规律；360°是一个常数，把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形有关问题的常用技巧．将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸边形的一个顶点引出的对角线把

2、凸边形分成个多角形，凸n边形一共可引出对角线．例题求解【例1】在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数是．(江苏省竞赛题)思路点拨设除去的角为°，y°，多边形的边数为，可建立关于x、y的不定方程；又0°

3、图形．【例2】在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是()A．0B．1C．3D．5(全国初中数学竞赛题)思路点拨多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨．【例3】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥第9页（共9页）BC于D，且AD=BC=4，若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼四边形的示意图(标出图中直角)，并分别写出所拼四边形的对角线的长．(乌鲁木齐市中考题)思路点拨把动手操作与合情想象相结合，解题的

4、关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形．注教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题，简单地说，“数学建模”就是通过数学化(引元、画图等)把实际问题特化为一个数学问题，再运用相应的数学知识方法(模型)解决问题．本例通过设元，把“没有重叠、没有空隙”转译成等式，通过不定方程求解．【例4】在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组

5、成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．(1)请根据下列图形，填写表中空格：(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?(3)从正三角形、正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由．(陕西省中考题)思路点拨本例主要研究两个问题：①如果限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形；②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性．假定正n边形满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，n个内角的和为360°，这样，将问题的

6、讨论转化为求不定方程的正整数解．【例5】第9页（共9页）如图，五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A'B'C'D'E'．（1）图中5块阴影部分即四边形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一个五边形吗?说明理由．(2)证明五边形A'B'C'D'E'的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位．(江苏省竞赛题)思路点拨(1)5块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件：，A'GB'；B'PC'；C'ND'；D'LE'；E'IA'三点分别共线；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周长等于A'H+A

7、'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圆的周长逼近估算．学力训练1．如图，用硬纸片剪一个长为16cm、宽为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是㎝，周长最小的是cm．(选6《荚国中小学数学课程标准》)2．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=．3．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，则线段AD的取值范围是．4．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：(1)