全国初中数学联赛金牌教练讲座:第十四讲 多边形的边角与对角线

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1、兰州第十中学数学组2013年最新八年级数学竞赛讲座第十四讲多边形的边角与对角线边、角、对角线是多边形中最基本的概念,求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题,常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识.多边形的内角和定理反映出一定的规律性:(n-2)×180°随n的变化而变化;而多边形的外角和定理反映出更本质的规律;360°是一个常数,把内角问题转化为外角问题,以静制动是解多边形有关问题的常用技巧.将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略,连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法,从凸边形的一个顶点引出的对角线把

2、凸边形分成个多角形,凸n边形一共可引出对角线.例题求解【例1】在一个多边形中,除了两个内角外,其余内角之和为2002°,则这个多边形的边数是.(江苏省竞赛题)思路点拨设除去的角为°,y°,多边形的边数为,可建立关于x、y的不定方程;又0°

3、图形.【例2】在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是()A.0B.1C.3D.5(全国初中数学竞赛题)思路点拨多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的,而外角和却总是不变的,因此,可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨.【例3】如图,已知在△ABC中,AB=AC,AD⊥第9页(共9页)BC于D,且AD=BC=4,若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形,在平面上把这两个三角形拼成一个四边形,你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼四边形的示意图(标出图中直角),并分别写出所拼四边形的对角线的长.(乌鲁木齐市中考题)思路点拨把动手操作与合情想象相结合,解题的

4、关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形.注教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题,简单地说,“数学建模”就是通过数学化(引元、画图等)把实际问题特化为一个数学问题,再运用相应的数学知识方法(模型)解决问题.本例通过设元,把“没有重叠、没有空隙”转译成等式,通过不定方程求解.【例4】在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌),这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组

5、成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.(1)请根据下列图形,填写表中空格:(2)如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?(3)从正三角形、正四边形,正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由.(陕西省中考题)思路点拨本例主要研究两个问题:①如果限用一种正多边形镶嵌,可选哪些正多边形;②选用两种正多边形镶嵌,既具有开放性,又具有探索性.假定正n边形满足铺砌要求,那么在它的顶点接合的地方,n个内角的和为360°,这样,将问题的

6、讨论转化为求不定方程的正整数解.【例5】第9页(共9页)如图,五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位,得到新的五边形A'B'C'D'E'.(1)图中5块阴影部分即四边形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一个五边形吗?说明理由.(2)证明五边形A'B'C'D'E'的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位.(江苏省竞赛题)思路点拨(1)5块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件:,A'GB';B'PC';C'ND';D'LE';E'IA'三点分别共线;∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°;(2)增加的周长等于A'H+A

7、'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I,用圆的周长逼近估算.学力训练1.如图,用硬纸片剪一个长为16cm、宽为12cm的长方形,再沿对角线把它分成两个三角形,用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来,其中周长最大的是㎝,周长最小的是cm.(选6《荚国中小学数学课程标准》)2.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=.3.如图,ABCD是凸四边形,AB=2,BC=4,CD=7,则线段AD的取值范围是.4.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:(1)

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