椭圆典型题20131128

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1、类型一：标准方程的求解（重视基础）必须会!!!!!!例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．3已知方程表示椭圆，求的取值范围4(难点儿)已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．5求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．6已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方7已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．类型二：直线与椭圆的位置关系(代

2、数法-两根之和-积-判别式)1判断直线与椭圆的位置关系2若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围类型三：弦长问题1已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．2已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积3已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．类型四：中点弦问题(点差法—代数法)1已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的

3、方程2求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程.3已知椭圆，（1）求斜率为的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程.4已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．类型一：标准方程的求解例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．解：方程变形为．因

4、为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．3已知方程表示椭圆，求的取值范围．解：由得，且．∴满足条件的的取值范围是，且．说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围

5、是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．例3已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以．因此且从而．说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在轴上，知，．(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件．例5　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起

6、见，可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为(，)．由和两点在椭圆上可得即所以，．故所求的椭圆方程为．例6已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，可求出，，从而．∴所求椭圆方程为或．例7已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：

7、如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．类型二：直线与椭圆的位置关系(代数法-两根之和-积-判别式)一、公共点问题通过方程判别式来判断直线与椭圆的位置关系，几何的交点问题与代数的方程根问题完美结合于此例8判断直线与椭圆的位置关系解：由可得（1）当时，直线与椭圆相交（2）当

8、时，直线与椭圆相切（3）当时，直线与椭圆相离例9若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围解法一：由可得，即解法二：直线恒过一定点当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即综述：解法三：直线恒过一定点要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系