“四种条件”的判断方法

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1、“四种条件”的判断方法余国清要判断条件p是结论q的充分必要条件，或必要不充分条件，或充分不必要条件，或既不充分也不必要条件，除要对命题“若p则q”和“若q则p”的真假进行正确判断之外，还要掌握一些常用的方法与技巧。对初学者来说有些条件的判断是有一定难度的，本文谈谈四种条件的判断应用，供大家参考。一、定义法由“四种条件”的定义可知：判断条件p是结论q的什么条件，实际上就是判断或的正确与否。只要运用题目中所给的条件和相关的数学知识加以判断即可。而对于抽象命题的判断，则只有将题中所给的逻辑关系画出示意图，再利用定义进行判断。例1“”是“”的（）A.充分不必要条件B.

2、必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：命题中条件p是“”，结论q是“”。若，则且（即），这说明“且”是“”的充分条件。若，则，适合上式，但，可见由且推不出，这说明“”不是“且”的必要条件。故应选A。点评：“若p则q”是原命题，可知：①原命题真而逆命题不真，则p是q的充分不必要条件；②原命题不真而逆命题真，则p是q的必要不充分条件；③原命题、逆命题都真，则p是q的充要条件；④原命题、逆命题都不真，则p是q的既不充分也不必要条件。二、集合法如果从命题的条件和结论之间的关系来判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，尤其是所研究的条件p与q表示两数

3、集时，这种方法就更显优越性。记条件p、q对应的集合为A、B，即：，。①若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若A=B，则p是q的充要条件；④若，且，则p是q的既不充分也不必要条件。上述命题的逆命题也是正确的。例2是否存在实数m，使“”是“”的充分条件？如果存在，求出m的取值范围。是否存在实数m，使“”是“”的必要条件？如果存在，求出m的取值范围。解析：设p：，q：。第2页（共2页）条件p对应的集合，条件q对应的集合B={x

4、－2>0}=。若成立，则必有，在数轴上表示两集合的关系易知，可得。于是时，，

5、即。故存在，使“”是“”的充分条件。若p是q的必要条件，则必有成立，即要，这样不可能。故不存在实数m，使“”是“”的必要条件。点评：充要条件反映了命题间相互推导的逻辑关系，同时也是集合之间关系的一种反映。如，则A中的元素是属于B的充分条件，B中的元素是属于A的必要条件。本题将“若p则q”的判断转换成两集合之间的一种包含关系，从而使问题便于判断。三、等价法利用与；；的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法。例3已知p：，q：（m>0），且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。解析：由p是q的必要不充分条件，即，可得。可知q是p的

6、必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件。由，得（m>0）。∴q：又由，得。∴p：。又p是q的充分不必要条件，知∴，解得不等式组的解为故所求实数m的取值范围是。点评：本题充分利用互为逆否的两个命题的等价性进行转换，从而得到q是p的必要不充分条件，又根据“四种条件”的定义将其转化为p是q的充分不必要条件，再利用集合关系顺利求解。第2页（共2页）