邓泽华 向量代数与空间解析几何课件

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1、第七讲向量代数与空间解析几何（数学一）考纲要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法.5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.6.会求点到直线以及点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及

2、其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.一、向量代数问题1向量的概念答相关内容有1.向量的概念既有大小又有方向的量称为向量.向量的大小称为向量的模，记作，向量的模.模为1的向量称为单位向量.与轴，轴，轴同向的单位向量分别记作，，.若为非零向量，则是与同向的单位向量.任一向量，这是表示向量的一种重要方法.若向量与模相等、方向相同（经平行移动能够重合），则称向量与相等，记作向量.以为起点，为终点的向量.以原点为起点

3、，为终点的向量称为点的向径，.2.向量的夹角、向量的方向角与方向余弦向量与的正方向的夹角，称为向量与的夹角，规定.向量与轴，轴，轴正方向（，，）的夹角称为向量的方向角，方向角的余弦275称为向量的方向余弦.向量的方向余弦，.▲将向量单位化，可以求出向量的方向余弦.例题1.求质量为的质点对质量为的质点的引力.解引力大小，与同方向的单位向量，则引力，其中.▲本题求引力的方法在用积分求连续体对质点的引力时很重要.2.已知两点和，求向量的模、方向余弦和方向角.解，，与同向单位向量，方向余弦，方向角.问题2向量的运算答进行向量运算

4、时，一要注意运算的可行性，二要掌握向量的运算律.设向量，.1.向量的加法由平行四边形法则或者三角形法则给出，其坐标运算为.2.数乘向量是一个向量，其模，其方向规定为：当时，与同向，当时，与反向，其坐标运算为.275▲向量的加法和数乘统称为向量的线性运算，它们的运算律（交换律、结合律、数乘对加法的分配律）和坐标运算与线性代数相同.3.向量的数量积，其中为向量与的夹角，其坐标运算为.▲向量的数量积的运算律（交换律，对加法的分配律）和坐标运算与线性代数相同.4.向量的向量积是一个向量，其模，其方向垂直于且符合右手规则，其坐标运

5、算为.5.向量的混合积.▲向量的向量积、混合积的运算律可利用它们的坐标运算并结合行列式性质记忆，如，，，.▲进行向量运算时，尤其要注意向量运算和实数运算的差别：⑴向量的向量积不满足交换律，即；⑵向量的数量积和向量积不满足零因子律，即或者，或者；⑶向量的数量积和向量积不满足消去律，即，.例题1.下列命题是否正确？⑴；⑵若，则或者，若，则或者；⑶若，则，若，则.⑷若，且，，则.解⑴不正确，因为向量积不满足交换律，正确的是；⑵不正确，因为数量积、向量积都没有零因子律：不能推出或者，不能推出或者；275⑶不正确，因为数量积、向量

6、积都没有消去律：不能推出，不能推出.⑷正确，因为，，又，故，从而.2.设为单位向量，且，求.解由题设知，向量构成一个边长为1的正三角形，故，类似可得，，所以.3.设，则.解.问题3向量在几何上的应用答1.由数量积的定义知⑴；⑵；⑶.因此可以用数量积⑴求向量的模（长度）；⑵求两个向量的夹角；⑶讨论向量的垂直关系.2.由向量积的定义知⑴以向量为邻边平行四边形的面积；⑵；⑶或者.因此可以用向量积⑴求平行四边形的面积和三角形的面积；⑵判断三点共线：三点共线的充要条件是，⑶求一个同时垂直于的向量.2753.由混合积的几何意义知，混

7、合积的绝对值等于以向量为共点棱的平行六面体的体积.因此可以用混合积⑴求平行六面体的体积和四面体体积；⑵判断四点共面：四点共面的充要条件是.4.向量在平面、直线问题中有广泛应用：⑴推导平面的点法式方程⑵推导直线的点向式（对称式）方程⑶求平面与平面的夹角（法向量的夹角）、直线与直线的夹角（方向向量的夹角）、直线与平面的夹角（方向向量与法向量夹角的余角）；⑷讨论平面与平面、直线与直线、直线与平面的平行、垂直关系；⑸推导点到平面的距离公式；⑹推导点到直线的距离公式；⑺求两条异面直线的公垂线的长；⑻解决平面几何、立体几何问题，推导

8、余弦定理.例题1.若且，则与的夹角.解，即故，.2.设，，求与的夹角.【】解【求两向量的夹角】，，两式相减，得，代入上式，得，3.若且与的夹角，求⑴与的夹角；【】⑵以与为邻边的平行四边形的面积.【】275解⑴设与的夹角为，则，，由余弦定理，得，，故，.⑵以与为邻边的平行四边形的面积为.4.已知点和，试在轴上求一点，使