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《【高中教学案】4-1：第二讲 四 弦切角的性质- 2018数学人教a版选修4-1创新应用教学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、【高中教学案】4-1：第二讲四弦切角的性质-2018数学人教A版选修4-1创新应用教学案导读：就爱阅读网友为您分享以下“【高中教学案】4-1：第二讲四弦切角的性质-2018数学人教A版选修4-1创新应用教学案”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!四弦切角的性质[对应学生用书P28]弦切角定理(1)文字语言叙述:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.(2)图形语言叙述:如图,AB与⊙O切于A点,则∠BAC=∠D.
9[说明]弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半,圆周角的度数等于它所对的弧的
2、度数的一半,圆心角的度数等于它所对弧的度数.[对应学生用书P29][例1](2010·新课标全国卷)如图,已知圆上的弧AC=BD,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE·CD.[思路点拨]利用弦切角定理.[证明](1)因为AC=BD,所以∠BCD=∠ABC.又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC,所以∠ACE=∠BCD.(2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,所以△BDC∽△ECB.故BCBECDBC,即BC2=BE9·CD.利用弦
3、切角定理进行计算、证明,要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角,有时与圆的直径所对的圆周角结合运用,同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角.1.如图,AB为⊙O的直径,直线EF切⊙O于C,若∠BAC=56°,则∠ECA=________.解析:连接BC,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠B=90°-∠BAC=90°-56°=34°.又∵EF与⊙O相切于点C,由弦切角定理,有∠ECA=∠B=34°.答案:34°2.如图,AB是⊙O的弦,CD是经过⊙O上的点M的切线,求证:(1)如果
4、AB∥CD,那么AM=MB;(2)如果AM=BM,那么AB∥CD.证明:(1)∵CD切⊙O于M9点,∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B.∵AB∥CD,∴∠CMA=∠A.∴∠A=∠B,故AM=MB.(2)∵AM=BM,∴∠A=∠B.∵CD切⊙O于M点,∠CMA=∠B,∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD.3.如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥CD;(2)若AD=2,AC5,求AB的长.解:(1)证明:如图,连接BC.∵直线CD与⊙O相切于点C,∴∠DCA=
5、∠B.∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.∴∠ADC=∠ACB.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ADC=90°,即AD⊥CD.(2)∵∠DCA=∠B,∠DAC=∠CAB,∴△ADC∽△ACB9.∴ADAC=ACAB,∴AC2=AD·AB.∵AD=2,AC=5,∴AB=52.[例2]如图,PA,PB是⊙O的切线,点C在AB上,CD⊥AB,CE⊥PA,CF⊥PB,垂足分别为D,E,F.求证:CD2=CE·CF.[思路点拨]连接CA、CB,∠CAP=∠CBA、∠CBP=∠CAB→Rt△CA
6、E∽Rt△CBDRt△CBF∽Rt△CAD→CECDCDCF→结论[证明]连接CA、CB.∵PA、PB是⊙O的切线,∴∠CAP=∠CBA,∠CBP=∠CAB.又CD⊥AB,CE⊥PA,CF⊥PB,∴Rt△CAE∽Rt△CBD,Rt△CBF∽Rt△CAD,∴CACBCECD,CBCA=CFCD∴CECD=CDCFCD2=CE·CF9.证明乘积式成立,往往与相似三角形有关,若存在切线,常要寻找弦切角,确定三角形相似的条件,有时需要添加辅助线创造条件.4.如图,已知MN是⊙O的切线,A为切点,MN平行于弦C
7、D,弦AB交CD于E.求证:AC2=AE·AB.证明:连接BC.⎭⎪⎬⎪⎫MN∥CD⇒∠MAC=∠ACDMN切⊙O于A⇒∠MAC=∠B⎭⎪⎬⎪⎫⇒∠ACD=∠B∠CAE=∠CAB⇒△ACE∽△ABC⇒ACABAEAC⇒AC2=AB·AE.5.如图,AD是△ABC的角平分线,经过点A、D的⊙O和BC切于D,且AB、AC与⊙O相交于点E、F,连接DF,EF.(1)求证:EF∥BC;(2)求证:DF2=AF·BE.证明:(1)∵⊙O切BC于D9,∴∠CAD=∠CDF.∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=
8、∠CAD.又∵∠BAD=∠EFD,∴∠EFD=∠CDF.∴EF∥BC.(2)连接DE,∵⊙O切BC于D,∴∠BAD=∠BDE.由(1)可得∠BDE=∠FAD,又∵⊙O内接四边形AEDF,∴∠BED=∠DFA.∴△BED∽△DFA.∴DEAFBEDF.又∵∠BAD=∠CAD,∴DE=DF.∴DF2=AF·BE.[对应学生用书P30]一、选择题1.P在⊙O外,PM切⊙O于C,PAB交⊙O于A、B,则(9)A.∠MCB=∠BB.∠PAC=∠PC.∠PCA=∠B
