数学：一《平行线等分线段定理》教案(新人教a版选修4-1)

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1、一.平行线等分线段定理教学目标1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．2．熟练掌握任意等分线段的方法．3．培养化归的思想。运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法．教学重点和难点重点是平行线等分线段定理及证明；难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用．教学过程设计一、从特殊到一般猜想结论1．复习提问，学生口答．（1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD//BC，DE//AB．求证：AD＝DC．说明：①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明．②题中条件DE//AB与结论没有必然联系，可看成是证明时所

2、添加的辅助线，删去不影响结论的成立，即得到第（2）题．（2）如图4－78，在△ABC中，AM＝MB，WD//BC，则AD＝DC． 教法：①引导学生用语言叙述该命题．若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段，那么它也把第三边边截成两条相等线段．②对结论进行引伸：若把两平行直线换成一组平行直线，是否还有这种性质？二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理1．用化归的方法证明定理．以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理．已知：如图4-79（a）,l1∥l2∥l3,AB=BC．求证：A1B1=B1C1．分析：由于三

3、条平行线与被截的两条直线相交成梯形，怎样利用梯形中常用梯形，怎样利用梯形中常用的辅助线，将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决？方法一如图4－79（b），构造基本图形4－78，过Al作AC的平行线交j2于D,交j3于E,利用复习题（1）的方法来证明．方法二如图479（c），构造基本图形4-79（d），过BI作EF//AC分别交j1，j3于E，F，利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明．-5-2．用运动的观点掌握定理的变式图形． （l）当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？教师制作教具，演示AlC1

4、；所在直线运动的各种状态（见图480），让学生观察结论，并总结：可用类似的方法来证明．说明：（1）让学生认识到被平行线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论．（2）强调图4－80（c）中截得的A1B1＝B1C1，与AC与A1C1的交点D无关，让学生认清定理的基本图形结构．（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用．3．用特殊化的方法研究推论．对定理的两种特殊情况，即图4-80（a）、图4-80（b）分解出被截的两条直线与平行组相交构成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形

5、中的特例，得到推论1和推论2．引导学生叙述两种情形下的特殊结论，画图并写出数学表达式如下：推论1经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰．在图4-81中,∵梯形ABCD中，AD//BC，AE＝EB，EF//BC，∴DF＝FC．推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．-5-在图4－82中，∵△ABC中，AE＝EB，EF//BC，∴AF＝FC．让学生熟记基本图形图4-81、图4-82的结构特点以及它们所包含的重要结论，是灵活运用它们解决问题的关键．三、运用定理解决问题1．n等分任意一已知线段的作图．例1已知：如图4

6、-83，线段AB．求作线段AB的五等分点．分析：引导学生推广图4-82，构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A和点B．2．分解或构造基本图形，应用定理及推论证明．例2（l）如图4-84M，N分别为□ABCD的边AB，CD的中点，CM交BD于E，AN交BD于F，求证：BE＝EF＝FD．（2）如图4－85．AB⊥j于B.CD⊥j于C,E为AD中点．求证：△EBC是等腰三角形．教师指导：引导学生先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．例3(选用)（1）如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点

7、．求证：∠MAB＝∠MBA．-5-（2）如图4-87，E为□ABCD对角线的交点，过点A，B，C，D，E分别向直线j引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’．图中能分解出几个基本图形图4-81？j上的线段之间有何等量关系？四、师生共同小结1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法．2．怎样n等分一条已知线段？3．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理．五、作业课堂教学设计说明本教学过程设计需1课时完成．1．利用复

8、习题起到两个作用：（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受理；（2）启发证明思路，准备定理所用的基本图形，分散难点．2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图