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《关于有限p_群的若干问题_徐明曜》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、..第3Volz4,N0314卷第期数学进展19557u,年月人DVANCESINMATHEMATICSJly1955p一关于有限群的若干问题徐明耀(北京大学数学系);1.引言有限P一,,群作为有限群论的一个多少是独立的分支近半个世纪以来特别是近二十年,有。,来了很大的进步虽然它的发展不象有限单群那样引人注目在这个领域里工作的数学,.:家人数也不多但是近年来它的进展是不可忽视的我们仅举出下列北较突出的工作为例,....2958AHoe:poK。。pBurnside;1965,GEall年K肯定回答了方次数为的局限l可题年W.p二5Hhes;1966,asC五:p一对的情形
2、用反例否定了ug猜想年WG讥证明了有限非交换群具...p;1976,Raughan一eep一iego有幂阶外自同构年MVL证明了关于群的宽b(G)的JWld猜1想‘p““’“‘G,十飞’);1950,p627;(IG}(了年人们用电子计算机完成了和阶群的完全分类...,JTnerp一以及近二十年来GhooPso和JAIPin等人为了单群问题的需要对群开辟的新的一一产。研究方向(特别是对p群的交换正规子群以及p群的p一自同构的研究)等等.说p一群是有限群论的独立的分支其突也是相对而言的近二十年来卜群理论的发展除了说明p一,,p一群对有限群尤共是对有限单群问题有一定的应用之外
3、人们还看到群和群论.,,,e的以及代数的其它分支有着紧密的联系特别明显的是与无限群论群族理论环论Li.e代数以及同调代数等的关系上面提到的p一群的几项突出成果之中就有三项是借环和Lie。,一,助于Li环论和同调代数方法得到的事实上p群发展的历史表明如果它不走出自身理,。论的框框而到外面去寻找方法以至问题它的发展总是有限度的.一,,关于p群的理论自从1934年PHall的奠基性论文川发表以来近半个世纪一直没有。笔者在这个报告中不想也没有可能对p一群理论进行系统的这方面系统的专著和综述文章.我给自己规定的任务只是向读者介绍p一介绍群理论中的几个典型的(但不一定都是主要,一。的
4、)问题使读者可从中窥见近年来p群发展之一斑.。目前可以得到的关于p一群基本知识的最好的表述是BHuPPert阁的第1章该书已叙。,。述过的基本事实不再重述本文采用的符号和术语是标准的一般也和这本书相同不同的,,。,是我们用大写拉丁字母表群小写拉丁字母表群的元素以l表单位元素和单位子群二者不加区别。井用园括号表换位子。,一。设G是有限p一群G的下述五个群列和五个算术不变量在p群理论中起着重要的作用它们是导群列=(o’(l)二,(2’‘上)=1,GG>GG>G>⋯>G9833月。,落年7日收到1983年9月15日收到修改稿数学进展14卷G)二左;上、下中心群列及导列长杖1二2
5、0、。二,(G)G)⋯>G、及幂零类叹G)=内上下幂群列O;·‘·。=,l=D(G)(G)>>口(G)。,‘。e,共中(G)=e是幂指数满足exPG=p拜对0(泣(有D,=人。,。=aa,‘=i,(G)<(G)>A(G){任Gt}‘,,,=a,’a.口(G)=v(G){I任G}另,:外两个算术不变量是d(G)和叮G)可如下定义pd,=,p。‘G,=;,“IG/巾(G)tIG/U(G)lrattn,二‘i,“。共中中(G)是Fii子群井有中(G)G口(
6、G)因此恒有d(G)簇(G)d(G)是G的,。秩它是G的最小生成系包含的生成元个数有限p一群理论的主要问题就是研究这些群列及算术不变量之间的相互关系以及它们对一。,一p群构造的影响详言之即研究以计数定理和p一群算术不变量之间的关系为中心的p群,、一、;上下中心群列为中心的p;以及以上下幂群列的算术结构以导群列群的换位子结构一,。为中心的p群的幂结构此外还旁及一些其他的问题。我们将在以下的五节中分述p一群理论巾比较重耍而又富有成果的五个问题介绍它们。为方便起见,,的来龙去脉及发展现状参考文献分节编录这将更有利于对某一个或几个问。题有特殊兴趣的读者,作者均,在准备本文的全部过
7、程中得到段学复教授耐心的指导和诚恳的帮助在此澡致。谢意荟.2计数定理一一、,所谓p群的计数定理就是指关于有限p群各种类型的子群元素或子集个数的结果一。,一一它是p群算术结构的主要课题反过来由p群子群个数的条件推出p群本身的性质或结,一。构也是p群算术结构研究的向题.21有限p一群的经典计数定理,已经出现了若干重要的p一。它们主要是.A.Mil-在本世纪四十年代以前群计数定理G..。er,HaKy二a:o,,1,23Pll和A等人的工作可见文献〔〕1芬8〔〕和[习一,=刀”.=,,,”。s、正,设G是有限p群!引对于左O1⋯以(
