平衡中的临界和极值问题

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1、教学课题：平衡中的临界和极值问题时间教学目标：1、教学重点：教学难点：教学器材：教学过程：教学随笔5一、知识要点临界问题是指：当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。临界状态可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”，至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。这类问题称为临界问题。解临界问题的基本方法是假设推

2、理法。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件。解此类问题要特别注意可能出现的多种情况。二、例题分析【例1】一质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。【分析】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。当此分力增大到等于最大

3、静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。此时是θ最大。【解答】依题意，mgsinθ=μmgcosθtgθ=μ∴θ≤arctgμ说明：tgθ=μ是一重要临界条件。其意义是：tgθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力；tgθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力；tgθ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；①、将物体静止置于斜面上，如tgθ≤μ，则物体保持静止；如tgθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。5F②、将物体以一初速度置于斜面上，如tg<μ，则物体减速，最后静止；如tgθ=μ，则物体保持匀速运

4、动；如tgθ>μ，则物体做加速运动。因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。练习：如图，质量为m的三角形尖劈静止于斜面上，上表面水平。今在其上表面加一竖直向下的力F。则物体：A、保持静止；B、向下匀速运动；C、向下加速运动；D、三种情况都要可能。【解答】A。【例2】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为μ（μ

5、条件得T=mBg再以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用．假设A处于临界状态，即A受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：N=mgcosθT-fm-mgsinθ=0fm=μN或：T+fm-mgsinθ=0fm=μN综上所得，B的质量取值范围是：m（sinθ-μcosθ）≤mB≤m(sinθ+μcosθ)说明：本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时．要在物体临界问题下，确定可能的运动趋势．【例2】如图所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下

6、方有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面．【解析】以球为研究对象，如图所示。有N1sinθ=GN1cosθ=N2sinθ=(R-h)/R再以整体为研究对象得：N2=F即F=√h(2R-h)·G/(R-h)说明：球体刚好离开地面，有地面对球的支持力为零，但系统又平衡．5yFNθfxG【例3】如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=1/√3，物体做匀速直线运动。求牵引力F的最小值和方向角θ。解：物体的受力图如图。建立坐标系，有：Fcosθ-μN=0①Fsinθ

7、+N-G=0②由①、②消去N得：F=μG／(cosθ+μsinθ)令tgφ=μ，则cosθ+μsinθ=√1+μ2cos(θ-φ)∴F=当θ=φ时，cos(θ-φ)取极大值1，F有最小值。Fmin==G/2tgφ=μ=1／√3φ=300∴θ=300点评：此例给出了求解极值问题的一种方法：函数法。此例中，F的大小随θ的变化而变化，要求F的极小值，就要根据题意求出F随θ而变的函数关系式，再利用函数的单调性，讨论F的极值。此例中三角函数的变换是一种常用的方法，应牢记。ΦΦθ【解法二】将四力平衡转化为三力平衡，用图象法求解。

8、将N与f合成为一全反力R。tgΦ=f/N=μ。可见，N变化会一个起f变、R变，但R的方向是不变的。物体处于平衡状态，R、F、G的合力必为0，三力构成一封闭三角形。由图法可知，当F垂直于R时，F最小。此时，θ=Φ=arctg(1/√3)=300Fmin=GsinΦ=G/2点评：此例将四力平衡转化为三力平衡求解，这是解决多力平衡问题的一种方法。摩擦