单摆运动过程的matlab&simulink建模与仿真

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1、单摆运动过程的MATLA&Simulink建模与仿真作者:王军Email:wj820420@126.com本文章为一次学习总结，发到网上供大家参考，希望大家转载的时候不要匿名篡改，保持良好的学术作风。在高中物理学习过程中,我们接触了单摆.当时的单摆定义是:细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.根据上面的定义,得出以下试验结论.(1)当摆角很小时，周期与振幅无关;(2)周期与摆球质量无关;(3)单摆振动的周期与摆长有关;单摆

2、周期的平方与摆长成正比.以上结论是在理想条件下得到的结论,现对这个理想条件下的单摆进行分析与仿真,将仿真结果与以上结论进行对比验证.1理想模式下单摆的数学模型.首先根据理想条件,摆线质量忽略不计,空气阻力忽略不计.设摆线长度为l,摆球质量为m,重力加速度为g,系统的初始时刻为t=0,在任意t≥0时刻摆球的线速度为v(t),角速度为ω(t),角位移(t),以单摆的固定位置为坐标原点建立直角坐标系,水平方向为x轴方向.示意图如下所示：在t时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即(t)

3、=mgsin(t)完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：a(t)=gsin(t)因此得到单摆的运动微分方程组：gsin(t)(1)9(2)使用欧拉算法求解：将dv(t)=v(t+dt)-v(t)和d(t)=(t+dt)-(t)代入式（1）及式（2）中，并以仿真步进量Δ作为dt的近似，得到基于时间的递推方程：v(t+Δ)=v(t)+gsin(t)Δ（3）(t+Δ)=(t)-Δ（4）注:本递推方程仅适合于摆角,也就是要求无论初始速度多少,摆角的最大幅度不能超过90度,如果超过90度比并且初始速度为0时

4、放手小球会自由下落一段时间才能摆动,本递推方程无法描述.据此编写仿真程序：在MALAB命令窗口输入以下命令：dt=0.0001;%仿真步进T=16;%仿真时间长度t=0:dt:T;%仿真计算时间序列g=9.8;L=1.5;th0=1.5;%初始摆角设置,不能超过π/2,即要求球摆动开始时绳子就要有拉力,如果初始摆角超过π/2,则球会经过一阵自由落体后才能进行摆动,上面的递推方程不能满足该情形.v0=0;%初始摆速设置v=zeros(size(t));%程序存储变量预先初始化，可提高执行速度th=zeros(si

5、ze(t));v(1)=v0;th(1)=th0;fori=1:length(t)%仿真求解开始v(i+1)=v(i)+g*sin(th(i)).*dt;th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;end%使用双坐标系统来作图[AX,B1,B2]=plotyy(t,v(1:length(t)),t,th(1:length(t)),'plot');set(B1,'LineStyle','--');%设置图线型set(B2,'LineStyle',':');set(get(AX(1),'Ylabel'

6、),'String','线速度v(t)m/s');%作标注set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','角位移th(t)/rad');xlabel('时间t/s');legend(B1,'线速度v(t)',2);9legend(B2,'角位移th(t)',1);在以上假设条件下得到仿真图形如下:在其他条件不变的情况下,仅仅改变细线的长度L=3,再次进行仿真,仿真图象如下:对比两幅图象可以看出,在理想条件下,同样摆角下,单摆的摆臂变化,影响单摆的最大线速度以及单摆的周期,当摆臂增加时,最

7、大线速度增加,同时单摆的周期也增加.此结论正好与最初单摆理想条件下的试验结论一致.实际情况中,当摆幅很小(<50),单摆的摆动可以看作是简谐运动,现在更改单摆的初始摆角为50情况,也就是令th0=0.085,L依然为1.5,仿真结果如下:92现实情况下单摆的数学模型.现实情况下,绳子的质量,摆球的半径,空气的阻力等等都对单摆的摆动有影响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动,为简单起见,可设单摆在摆动中受到阻力fz，显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数：fz=f(v)，fz(t)=-kv(t)

8、上式中，k>0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力ft-fz产生，根据牛顿第二运动定律，有a(t)=gsin(t)-因此得到修正后的单摆运动微分方程组:gsin(t)-（5）（6）仍然使用欧拉算法求解：将dv(t)=v(t+dt)-v(t)和d(t)=(t+dt)-(t)代入式（5）及式（6）中，并以仿真步进量Δ作为dt的近似，得到基于时间的递