第22届全国中学生物理竞赛复赛题

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1、第22届全国中学生物理竞赛复赛题O1O2OAB一、图中的是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是的1/4圆周连接而成，它们的圆心、与两圆弧的连接点在同一竖直线上．沿水池的水面．一小滑块可由弧的任意点从静止开始下滑．1．若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧上的何处？（用该处到的连线与竖直线的夹角表示）．2．凡能在点脱离滑道的小滑块，其落水点到的距离如何？解：如图所示，设滑块出发点为，离开点为，按题意要求、与竖直方向的夹角相等，设其为，若离开滑道时的速度为v，则滑块在处脱离滑道的条件是(1

2、)由机械能守恒(2)(1)、(2)联立解得或(3)2．设滑块刚能在O点离开滑道的条件是（4）v0为滑块到达O点的速度，由此得（5）设到达O点的速度为v0的滑块在滑道OA上的出发点到的连线与竖直的夹角为，由机械能守恒，有（6）由（5）、（6）两式解得（7）若滑块到达O点时的速度，则对OB滑道来说，因O点可能提供的最大向心力为mg，故滑块将沿半径比R大的圆周的水平切线方向离开O点．对于的滑块，其在OA上出发点的位置对应的角必大于，即，由于，根据机械能守恒，到达O点的最大速度（8）由此可知，能从O点离开滑道的滑块速度是v0到之间所有可能的值，也就是说，从至下

3、滑的滑块都将在O点离开滑道．以速度v0从O点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至的距离（9）（10）由（5）、（9）、（10）式得（11）13第22届全国中学生物理竞赛复赛题当滑块以从O点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到的距离（12）由（8）、（10）、（12）式得（13）因此，凡能从O点脱离滑道的滑块，其落水点到的距离在到之间的所有可能值．即（14）O1O2O3PP2P1ORRr二、如图所示，O为半径等于R的原来不带电的导体球的球心，O1、O2、O3为位于球内的三个半径皆为r的球形空腔的球心，它们与O共面，已知．在OO1、OO2的连线上距O1、O2为

4、的P1、P2点处分别放置带电量为q1和q2的线度很小的导体（视为点电荷），在O3处放置一带电量为q3的点电荷，设法使q1、q2和q3固定不动．在导体球外的P点放一个电量为Q的点电荷，P点与O1、O2、O3共面，位于的延长线上，到O的距离．1．求q3的电势能．2．将带有电量q1、q2的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？此时q3的电势能为多少？解：1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量为、和的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量．由静电屏蔽可知，点电荷q1及感应电荷（）在空腔外

5、产生的电场为零；点电荷q2及感应电荷（）在空腔外产生的电场为零；点电荷q3及感应电荷（）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量作球对称分布．当球外P点处放置电荷Q后，由于静电感应，球面上的总电量仍为，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．O3处的电势由位于P点处的Q、导体球表面的电荷及空腔3表面的感应电荷（）共同产生．无论在球面上如何分布，球面上的面电荷到O点的距离都是R，因而在O点产生的电势为，Q在O点产生的电势为，这两部分电荷在O3点产生的电势与它们在O点

6、产生的电势相等，即有（1）13第22届全国中学生物理竞赛复赛题因q3放在空腔3的中心处，其感应电荷在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O3点产生的电势为(2)根据电势叠加定理，O3点的电势为(3)故q3的电势能(4)2．由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q1仅受到腔内壁感应电荷的静电力作用，因q1不在空腔1的中心O1点，所以感应电荷在空腔表面分布不均匀，与q1相距较近的区域电荷面密度较大，对q1的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q1最后到达空腔1表面，与感应电荷中和．同理，空腔2中q2也将在空腔表面感应电荷

7、的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷中和．达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化．O3的电势仍由球外的电荷Q和导体球外表面的电量及空腔3内壁的电荷共同产生，故O3处的电势U与q3的电势能W仍如(3)式与(4)式所示．p0r三、(22分)如图所示，水平放置的横截面积为S的带有活塞的圆筒形绝热容器中盛有1mol的理想气体．其内能，C为已知常量，T为热力学温度．器壁和活塞之间不漏气且存在摩擦，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为F．图中r为电阻丝，通电时可对气体缓慢加热．起始时，气体压强与外界大气压强p0相等，气体的

8、温度为T0．现开始对r通电，已知当活塞运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体吸收．