义务教育2018-版高中数学（人教a版）必修5同步教师用书：必修5第1章1.2第3课时　三角形中的几何计算

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1、第3课时　三角形中的几何计算1．掌握三角形的面积公式的应用．(重点)2．掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)[基础·初探]教材整理　三角形面积公式阅读教材P16练习以下部分～P18例9，完成下列问题．1．三角形的面积公式(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝absinC＝bcsin_A＝casin_B；(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．2．三角形中常用的结论(1)A＋B＝π－C，＝－；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角

2、形的诱导公式sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C，sin＝cos，cos＝sin.1．下列说法中正确的是________(填序号)．(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝，则A＝60°；(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6；(4)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B.【解析】　(1)错误．因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以

3、三角形的面积为S＝ar＋br＋cr＝(a＋b＋c)r.(2)错误．由三角形面积公式S＝bcsinA得，×2×2×sinA＝，所以sinA＝，则A＝60°或A＝120°.(3)正确．因为三角形的面积S＝absinC＝×6×4×sin30°＝6.(4)错误．因为在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＝－B.【答案】　(3)2．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积为________.【解析】　由题知A＝180°－120°－30°＝30°，∴＝，∴b＝6，∴S＝×6×6×sin120°＝9.【答案】　93．

4、在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为________．【解析】　S△ABC＝absinC＝15，∴sinC＝.由正弦定理＝2R，∴c＝2R×sinC＝3.【答案】　34．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．【解析】　在△ABC中，由面积公式得S＝BC·AC·sinC＝×2·AC·sin60°＝AC＝，∴AC＝2.∵BC＝2，C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝2.【答案】　2[小组合作型]三角形面积的计算(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C

5、＝，则△ABC的面积为(　　)A．2＋2B.＋1C．2－2D.－1(2)在△ABC中，S△ABC＝(a2＋b2－c2)，则C＝____________________.(3)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为________．【精彩点拨】　(1)利用正弦定理求边c，然后利用三角形面积公式求解．(2)由三角形面积S＝absinC与余弦定理cosC＝相结合求解．(3)由已知可先利用三角形面积公式S＝bcsinA求出AC，然后利用余弦定理求BC.【自主解答】　(1)由正弦定理＝及已知条件得c＝2，又sinA＝sin(B＋C)＝×＋

6、×＝.从而S△ABC＝bcsinA＝×2×2×＝＋1.(2)由S△ABC＝(a2＋b2－c2)得absinC＝(a2＋b2－c2)，即sinC＝，∴sinC＝cosC，即tanC＝1，∴C＝.(3)由S△ABC＝，得AB·AC·sinA＝，即×2AC×＝，∴AC＝1.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝22＋12－2×2×1×＝3，∴BC＝.【答案】　(1)B　(2)　(3)1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式．2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦

7、定理求出需要的边或角，再套用公式计算．[再练一题]1．已知在△ABC中，cosA＝－，cosB＝，BC＝5，求△ABC的面积.【解】　由cosA＝－，得sinA＝＝.由cosB＝，得sinB＝＝.所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝－＝.由正弦定理得AC＝＝＝.所以△ABC的面积为S＝·BC·AC·sinC＝×5××＝.三角形的证明问题　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.证明：＝.【精彩点拨】　由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开．【自主解答】　法一：由余弦定理a