1绪论-第一章-第二章讲稿

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1、目录绪论1内容简介1第一章预备知识2引言2§1.1三维欧氏空间中的标架2一、向量代数复习2二、标架3三、正交标架空间(流形)3四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换3§1.2向量函数4第二章曲线论7§2.1参数曲线7§2.2曲线的弧长9§2.3曲线的曲率和Frenet标架10§2.4曲线的挠率和Frenet公式15§2.5曲线论基本定理17§2.6曲线参数方程在一点的标准展开20§2.7存在对应关系的曲线偶23§2.8平面曲线26一、平面曲线的Frenet标架26二、平面曲线的Frenet公式27三、相对曲率的几何意义27四、平面曲线论基本定理27五、旋转

2、指标定理2730绪论几何学是数学中一门古老的分支学科.几何学产生于现实生产活动.“geometry”就是“土地测量”.Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》).数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统.以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表.《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann).克莱因(Klein)关于变换群的观点.E.Cartan的活动标架方法.微分几

3、何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用.内容简介第一章：预备知识.第二章：曲线论.第三章至第五章：曲面论.第六章：测地曲率和测地线.第七章*：活动标架和外微分法.30第一章预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数的图像是平面上的一条曲线，二元函数的图像是空间中的一张曲面.曲线或曲面上的点可以用向量函数表示成或.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成.这也是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.所

4、有这些例子中，都是先取定了一个坐标系.所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.§1.1三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：，，.向量相等的定义：大小和方向.零向量：，.反向量：.向量的线性运算.加法：三角形法则，多边形法则.向量按照加法运算构成一个群.数乘.向量按照加法和数乘运算构成一个向量空间.定义了内积的向量空间称为欧氏空间.内积的定义：.向量的长度.三角不等式.外积的定义.30二重外积公式：；.内积的基本性质：对称性，双线性，正定性.外积的基本性质：反对称性，双线性.二、标架仿射标架.定向标架.正交标架(即右手单位正交标架

5、)：.笛卡尔直角坐标系.坐标.内积和外积在正交标架下的计算公式.两点距离公式.三维欧氏空间和.三、正交标架空间(流形)取定一个正交标架(绝对坐标系).则任意一个正交标架被点的坐标和三个基向量的分量唯一确定：(1.6)其中可以随意取定，而应满足，(1.7)即过渡矩阵是正交矩阵.又因为是右手系，，即矩阵(1.8,1.9)是行列式为1的正交矩阵.我们有一一对应：正交标架，.所以正交标架的集合是一个6维流形.四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换30空间任意一点在两个正交标架和中的坐标分别为和，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式：(1.10)事实上，因为，将(1.

6、6)代入上式即得(1.10).如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动.用数学语言来说，就是欧氏空间到自身的映射，使得任何图形的像是与原来的图形通过刚体运动而得.在刚体运动下，若将正交标架变为，则空间任意一点和它的像点(均为在中的坐标)之间的关系式为(1.11)定理1.1中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于中的任意两个正交标架，必有的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.定理的证明.定理的前半部分是明显的.事实上，由刚体运动的定义可知保持向量的内积和外积，也就是说

7、，若的像是，则有，.30于是把等腰直角变成与它全等的等腰直角，所以把相互正交的单位向量变成相互正交的单位向量.同理可知把变成.反过来，设和是中的任意两个正交标架.我们来证明存在两个刚体运动，分别将初始标架变成和，从而刚体运动将变成了.设和之间的关系由(1.6)给出：(1.6)利用上式中的12个数，用(1.11)定义一个刚体运动.容易验证将变成.□空间到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换称为等距变换.刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动.一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(即复合)映射.仿射坐标变

8、换与仿射变换.§1.2向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域到中的映射.设有定义