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1、基于递归法的最接近点对问题姓名：杨意学号：309040102009学院：数学信息学院专业：计算机辅助教育目录1、问题综述22、用递归法解决22.1一维情形下的分析22.2二维情形下的分析32.3算法优化62.4算法实现63、结论9基于递归法的最接近点对问题摘要：在计算机应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象表现现实世界中的实体。在涉及几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来处理，则具有最大碰撞危险的两架飞机就是这个空间中最近的一点。这类问题是计算机几何学
2、中研究的基本问题之一。本文就运用递归法对一维和二维的情况加以讨论。关键词：最接近点对递归法1、问题综述最接近点对问题的提法是：给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点组成的所有点对中，该点对间的距离最小。实际情况下，最接近点对可能多于一对，为简单起见，我们只找其中的一对作为问题的解。有一个最直观的方法就是将每一点与其他n-1个点的距离算出，找出达到最小距离的两点即可。然而，这样做效率太低，我们想到用递归法来解决这个问题。2、用递归法解决将所给的平面上n个点的集合S分成两个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点。然后在每个
3、子集中递归地求其最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现递归法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对。如果组成S的最接近点对的两个点都在S1中或都在S2中，则问题很明显就可以找到答案。可是还存在另外一种可能，就是这两给点分别在S1和S2中的时候。下面主要讨论这种情况。2.1一维情形下的分析为使问题易于理解和分析，我们先来考虑一维的情形。此时，S中的n各点退化为x轴上的n个实数x1，x2，x3…xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的两个实数。我们尝试用递归法来求解，并希望推广到二维的情形
4、。假设我们用x轴上的某个点m将S划分为两个集合S1和S2，使得S1={x∈S
5、x≤m};S2={x∈S
6、x＞m}。这样一来，对于所有p∈和q∈S2有p＜q。递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1，p2}和{q1，q2}，并设d=min{
7、p1-p2
8、，
9、q1-q2
10、}由此易知，S中的最接近进点对或者是{p1，p2}，或者是{q1，q2}，或者是某个{p3，q3}，其中，p3∈S1且q3∈S2。如图2-1-1所示。图2-1-1一维情形的递归法我们注意到，如果S的最接近点对是{p3，q3}，即
11、p3-q3
12、＜d，则p3和q3两者
13、与m的距离不超过d，即
14、p3-m
15、＜d，
16、q3-m
17、＜d。也就是说，p3∈(m-d，m]，q3∈(m，m+d]。由于每个长度为d的半闭区间至多包含S1中的一个点，并且m是S1和S2的分割点，由图2-1-1可以看出，如果(m-d，m]中有S中点，则此点就是S1中最大点。同理，如果(m，m+d]中有S中点，则此点就是S2中最小点。因此，我们用线性时间就能找到区间(m-d，m]和(m，m+d]中所有点，即p3和q3。从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。但是，还有一个问题需要认真考虑，即分割点m的选取，即S1和S
18、2的划分。选取分割点m的一个基本要求是由此将S进行分割，使得S=S1∪S2，S1≠Φ，S2≠Φ，且S1∈{x
19、x≤m},S2∈{x
20、x＞m}。容易看出，如果选取m={max(S)+min(S)}/2，可以满足分割要求。然而，这样选取分割点，有可能造成划分出的子集S1和S2的不平衡。例如在最坏情况下，
21、S1
22、=1，
23、S2
24、=n-1，这样的计算效率与分割前相比提高幅度不明显。这种现象可以通过递归法中“平衡子问题”的方法加以解决。我们可以适当选择分割点m，使S1和S2中有个数大致相等的点。我们会想到用S中各点坐标的中位数来作为分割点。
25、由此，我们设计出一个求一维点集S的最接近点对的算法Cpair1如下：---------------------------------------------------------------BoolCpair1(S,d){N=
26、S
27、;if(n＜2){d=∞;returnfalse;}m=S中各点坐标的中位数；//构造S1和S2；S1={x∈S
28、x≤m};S2={x∈S
29、x＞m};Cpair1(S1,d1);Cpair1(S2,d2);p=max(S1);q=min(S2);d=min(d1,d2,q-p);returntru
30、e}------------------------------------------------------------------2.2二维情形下的分析以上一维算法可以推广到二维的情形。设S中的点为平面上的点，它们都有两个坐标值x和y。为了将平面上点集S线
