武汉工程大学工程电磁场第2章-静电场(二)

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1、第2章静态场（二）以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场求解方法。2-1静电场的唯一性定理及其应用2-2平行双电轴法2-3无限大导电平面的镜像法2-4球形导体面的镜像2-5无限大介质交界平面的镜像2-6电容与电容的计算2-9带电导体系统的电场能量及其分布2-10虚位移法计算电场力1、唯一性定理唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。2.1静电场的唯一性定理及其应用◇可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。这就是边值问题的唯一性定理

2、◇唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。由唯一性定理可获得的重要概念：1.明确哪些条件可以完全而且唯一地确定静电场的解，从而使我们在求解静电场问题时能正确地提出边界条件。在处理实际问题时，就能根据所提条件判明问题是否有解如何正确提供条件才能有解。2.在许多实际问题中，往往不能对泊松方程或拉普拉斯方程直接求解，而要借助于其它解法。其它解法所得之解是否正确唯一，要看它是否满足唯一性定理所要求满足的条件来进行判定。3.有许多实际问题，由于采用不同的方法求解，其解的形式可能不一样，如果求得的解都满足唯一性定理所要求满足的条件，则可以判

3、定这些不同形式的解彼此相等且均为有效。静电场的唯一性定理及其应用根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。两平行输电线的电场，若沿场中任一等位面k之一侧(内或外侧)填充导电媒质，则导电媒质以外之另一侧，其电场不变。二、唯一性定理的应用——等位面法静电场的唯一性定理及其应用例:空气中有半径为R1的导体球，其电位为已知。试确定导体球外距球心R>R1区域的电场强度。解：设导体带电荷若R＝R2导体球带有同样的电荷电场的分布完全一样，这就是等位体法唯一性定理应用的一个例证1.它保持了另一侧场的边界形状及介

4、质分布不变，且对另一侧场而言，边界仍为等位面。填充导电媒质后，边界上的总电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总电通量，即边界条件没有变化。2.它保持了另一侧场的介质及电荷分布不变。因而根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一方法是沿等位面填充介质，因而称之为等位面法。静电场的唯一性定理及其应用等位面法的实质：例2-1静电场唯一性定理在解静电屏蔽现象中的应用。解静电屏蔽现象：(1)接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场；(2)封闭导体壳无论它是否接地，则壳内的电场不受壳外电荷的影响。一种情形：设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳

5、外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有，始终没有改变壳外区域边界面上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。静电场的唯一性定理及其应用第二种情形：设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，S2是一个等位面。其次，如在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是

6、唯一确定的。它不受导体壳外电荷q2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。（电位移矢量的通量为q1）设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电荷线密度分别为§2-2平行双电轴法一、平行双电轴电场由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为平行双电轴电场是一个平行平面场，在垂直于电轴的各个平面上，场有完全相同的分布图形平行双电轴法选取坐标轴的原点o为零电位点，点P电位为由叠加原理，点P的电位为平行双电轴法等位线的分布规律在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族面平行双电轴法某个等位圆之半径为R0等位圆圆心至中性

7、面距离为x0电轴至中性面的距离为D/2在等位圆上选择特殊点A及BR2/R1=R2′/R1′=K(常数)等位面与电轴之间的关系平行双电轴法具有相同半径R0的平行双输电线。设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+τ及-τ，求电场分布。可认为导线的圆截面是沿某待求的双电轴所形成的等位圆填充导电媒质所得，根据等位面法，此问题转化为求解双电轴的电场二、平行双电轴法1、相同半径的平行双输电线双电轴的位置：平行双电轴法得2、对于相互平行但半径不同的双输电线半径R0′与R0″以及两圆柱体轴心距离d已知，得解得x0′及x0″可求两电轴的距离平行双电轴法3

8、、两偏心圆柱套筒的电场已知两圆柱套筒半径R0′、R0″以及圆柱轴心间距离d从而可求两电轴的距离D电轴法在求解双输电线电容及偏心圆柱套筒等的电容问题中被广泛运用平行双电轴法基于唯一性定理的镜象法以场域外虚拟的