第五章 一阶逻辑等值演算与推理

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1、第五章一阶逻辑等值演算与推理本章的主要内容一阶逻辑等值式与基本的等值式置换规则、换名规则、代替规则前束范式一阶逻辑推理理论本章与其他各章的关系本章的先行基础是前四章本章是集合论各章的先行基础5.1一阶逻辑等值式与置换规则一、等值式与基本的等值式1．等值式（定义5.1）AB当且仅当AB为永真式（A与B为任意的一阶逻辑公式）注意：与定义2.1的区别与联系2．基本的等值式第一组：命题逻辑中16组基本等值式代换实例例如，xF(x)yG(y)xF(x)yG(y)pqpq的代换实例第二组：本章新给出（1）消去量词等值式D={a1,a2,…,an}①xA(x)A(a

2、1)A(a2)…A(an)②xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)（2）量词否定等值式①xA(x)xA(x)②xA(x)xA(x)例:设个体域D={a,b,c},消去下列各公式的量词:（1）x(F(x)G(x))（2）x(F(x)yG(y))（3）xyF(x,y)解：（1）x(F(x)G(x))(F(a)G(a))(F(b)G(b))(F(c)G(c))（2）x(F(x)yG(y))xF(x)yG(y)(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))解：（3）xy(F(x,y)

3、x(F(x,a)F(x,b)F(x,c))(F(a,a)F(a,b)F(a,c))(F(b,a)F(b,b)F(b,c))(F(c,a)F(c,b)F(c,c))注意：也可以先消存在量词，得到的结果是等值的。练习：在有限个体域内消去下列公式的量词：（1）个体域：D={1,2,3}xy(F(x)G(y))（2）个体域：D={a,b}xy(F(x,y)G(y,x))（3）量词辖域收缩与扩张等值式.A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现关于存在量词的：①x(A(x)B)xA(x)B②x(A(x)B)xA(x)B③x(A(x

4、)B)xA(x)B④x(BA(x))BxA(x)关于全称量词的：①x(A(x)B)xA(x)B②x(A(x)B)xA(x)B③x(A(x)B)xA(x)B④x(BA(x))BxA(x)（4）量词分配等值式①x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)②x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例：证明：（1）x(A(x)B(x))与xA(x)xB(x)不等值（2）x(A(x)B(x))与xA(x)xB(x)不等值。证明：（1）取解释I为:个体域为自然

5、数集合N,A(x)解释为：x是奇数；B(x)解释为：x是偶数；则x(A(x)B(x))为真命题，而xA(x)xB(x)为假命题。（2）取解释I为:个体域为自然数集合N,A(x)解释为:x是奇数;B(x)解释为：x是偶数；则x(A(x)B(x))为假命题,而xA(x)xB(x)为真命题。二、置换规则、换名及代替规则1．置换规则（同命题逻辑）2．换名规则设A为一公式，将A中某量词辖域中约束变项的所有出现及相应的指导变元，改成该量词辖域中未曾出现过的某个体变项符号，公式中其余部分不变，设所得公式为A’，则A’A.3.代替规则设A为一公式，将A中某个自由出现的个体变项的

6、所有出现用A中未曾出现过的某个体变项符号代替，A中其余部分不变，设所得公式为A’，则A’A.例：将下列公式化成与其等值的公式，使其不含既是约束出现又是自由出现的个体变项：（1）xF(x,y,z)yG(x,y,z)（2）x(F(x,y)yG(x,y,z))例将下面命题用两种形式符号化（1）没有不犯错误的人（2）不是所有的人都爱看电影解（1）令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))（2）令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))例：证明下列等值式：（1）

7、x(M(x)F(x))x(M(x)F(x))（2）x(M(x)F(x))x(M(x)F(x))（3）xy(F(x)G(y)H(x,y))xy(F(x)G(y)H(x,y))（4）xy(F(x)G(y)L(x,y))xy(F(x)G(y)L(x,y))5.2一阶逻辑前束范式一、前束范式与命题公式的前束范式1．前束范式：定义5.2设A为一个一阶逻辑公式，若A具有形式Q1x1Q2x2…QkxkB