神秘而奇妙的幻方(上)[权威资料]

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1、神秘而奇妙的幻方(上)　　在国内电视娱乐节目《最强大脑》某一期里，就挑战成功与否，选手与专家展开了激烈争执，甚至引发了场下的微博大战。他们所争执的内容即是神秘而奇妙的幻方。　　什么是幻方？幻方有哪些独特的魅力？就让我们通过下面的文章了解一下。　　幻方是一种起源于我国的传统数字益智游戏。即把从1到n2个连续的自然数不重不漏地填入n×n的方格里，使每行、每列和两条对角线上的n个数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方，这个相等的和叫幻和。我国南宋著名数学家杨辉称之为“纵横图”，在其于1275年所著的《继古摘奇算法》中，不仅给出了构造3阶幻方的最简口诀，而且还记载了4～1

2、0阶幻方的构造方法。　　其后，这种古老且神秘的“纵横图”于15世纪初经东南亚国家、印度、阿拉伯流传到西方，在欧洲各国风行一时。就连欧拉和富兰克林等许多著名数学家和科学家，也对幻方产生浓厚的兴趣，并进行了有趣的探索。　　由于“纵横图”具有变幻莫测、高深奇妙的特性，以至于西方把它称之为MagicSquare，翻译成中文就是“幻方”。　　千百年来，随着人们对于幻方研究的深入，幻方已经成为数学园地中的一朵奇葩。众多爱好者痴迷其中，追求更高阶、更特别的幻方，研究成果层出不穷。而且幻方的形式已经突破了原先n×n的方格模式，幻方中的元素也不再限定为从1开始的连续自然数，抑或并非每

3、行、每列及对角线上数字之和相等，而是之差、之积、之商相等，各种稀奇古怪、趣味盎然的非正规幻方不断走入人们视线，其独特的构成和性质也引起人们强烈的好奇和关注。　　幻方的起源　　关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图。这就是“河图”（如图1），据说，伏羲氏凭借着“河图”而演绎出八卦。许多研究者认为，这是最早的幻方衍生雏形。后来，大禹治水时，洛水中浮出一只神龟，它背上的图文被称之为“洛书”（如图2）。　　公元6世纪前后，我国南北朝时期的北周数学家甄鸾，曾对“洛书”进行了数学分析，使人们认识到蕴含其中的特性：在这个实

4、际从1到9排成3行3列的“九宫”数表中，每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和都相等（等于15），也就是如今的3阶幻方（如图3）。由此，“洛书”成为世人公认的最原始、最低阶的幻方，亦被称为“九宫图”。　　幻方的构作　　对于3阶幻方的构作，南宋数学家杨辉给出了4句要诀：“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出。”按序操作，任何人都可以轻而易举地完成。图解如下：　　即先将1～9这些数字按序连续排成菱形位置;然后，将上下两头的数字1和9对调，再将左右两端的数字7和3对调;接着，将紧缩在里面的4个偶数2、4、6、8沿正方形对角形方向挺出到四角，则3阶幻方大功告成。　　现代

5、数学推导构作3阶幻方的步骤是：　　先求幻和：幻和=n×（n2+1）÷2，则3阶幻方的幻和=3×（32+1）÷2=15;　　确定中心数：根据每行、每列和两条对角线上的幻和相等，以及中心数是第二行、第二列和两条对角线幻和的公共数，可求出中心数为5，这是关键步骤;　　定四角数：通过假设法和奇偶性判定四角上的数必为偶数，即2、4、6、8;　　定其他数：接着稍加试验就很快得出完整的3阶幻方。　　对于更高阶的奇数阶幻方和偶数阶幻方的构作，研究者给出许多奇妙的方法，在此就4阶幻方和5阶幻方分别介绍一种简易构作方法。　　4阶幻方的构作方法――对称交换法：先将1～16依次按序填入4×

6、4方格中，两条主对角线上的8个数不变，其余各数按中心对称交换（即把2和15，3和14，5和12，9和8交换），这样，就得到了一个4阶幻方。　　5阶幻方的构作方法――平移补空法：先画一个如图5的阶梯式图表，把1～25按倾斜行从右上到左下依次填入图中;再以中间5×5方格为基础，画出一个5阶方阵来，按照对称原理，把方阵外的数按上移下、下移上、左移右、右移左的方法，平移到对应部分的空格中，即得一个5阶幻方（如图6）。　　可以想象，不管是奇数阶幻方，还是偶数阶幻方，不管是正规幻方，还是非正规幻方，要想顺利构造出来，都不是件轻而易举的事。若没有痴迷陶醉的兴趣、锲而不舍的信念和执

7、著不懈的努力，几乎可以肯定是徒劳无功的结局。　　下面要向大家介绍的各种奇异珍品幻方，其精彩绝伦的背后更是蕴含着创作者的呕心沥血和百般巧思，令人在叹为观止之余，不禁肃然起敬。　　铁板幻方　　国外研究幻方的构造大约从14世纪才开始，比我国要晚1000多年。目前所知外国人所造的最早幻方是于1957年在西安东郊元代安西王府遗址出土的元朝文物――铁板幻方（如题图）。它们现存于陕西省历史博物馆。据推测，这两块铁板是13世纪时由阿拉伯天文学家札马鲁丁在中国监制而成。就出土地点和时代背景而言，这个铁板幻方显然受到中国幻方研究的影响。　　经考证鉴定，这块长14厘米，厚1.5厘米的