2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第5讲_几何不等式

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1、第5讲几何不等式本讲只要内容是几何不等式:A类例题例1已知D是△ABC的边AB上的任意一点,E是边AC上的任意一点,连接DE,F是连接线段DE上的任意一点.设=x,=y,=z,证明:(1)S△BDF=(1–x)yzS△ABC,S△CEF=x(1–y)(1–z)S△ABC;(2)+≤.(2003年女子数学奥林匹克试题)证明(1)如图,有S△BDF=zS△BDE=z(1–x)S△ABD=z(1–x)yS△ABC,S△CEF=(1–z)S△CDE=(1–z)(1–y)S△ACD=(1–z)(1–y)xS△ABC.(2)+=(+)≤(+)=.例2如图，在△ABC中,P,Q,R将其周长三等分，且P,

2、Q在AB边上，求证：(1988年全国高中数学联赛第二试试题)证明从C,R向AB引垂线，用放缩法证明所需不等式.不妨设周长为1，作△ABC、△PQR的高CL、RH.情景再现1.已知D是面积为1的△ABC的边AB上的任意一点,E是边AC上任意一点,连接DE,F是线段DE上的任意一点，设=x,=y,=z,且y+z-x=.试求△BDF面积的最大值．(2005年湖南省数学竞赛试题)2.如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，证明S△BPF、S△PCE和S平行四边形PEAF中至少有一个不小于(S…表示图形的面积)(1984年全国高中数学联赛第二试试题)Ｂ类例

3、题例3(Erdős-Mordell不等式)设P是△ABC内的任意一点,P到三边BC、CA、AB的距离分别为PD＝p、PE＝q、PF＝r，并记PA＝x，PB＝y，PC＝z，则x+y+z≥2(p+q+r)等号成立当且仅当△ABC是正三角形并且P为此三角形的中心.证明如图,以∠B的平分线为对称轴分别作出A、C的对称点A΄、C΄.连接A΄C΄，又连接PA΄、PC΄，在△BA΄C΄中，容易得到①等号成立当且仅当BP⊥A΄C΄.由于△ABC≌△A΄BC΄,①式等价于cp+ar≤yb.即y≥·p+·r②同理x≥·q+·r③z≥·p+·q④将不等式②、③、④相加得x+y+z≥p(+)+q(+)+r(+)≥

4、2(p+q+r).例4设P是△ABC内的一点,求证:∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30o.(第32届IMO试题)证法一连接AP、BP、CP，并延长交对边于D、E、F，则++=++=1,设∠PAB=α,∠PBC=β,∠PCA=γ,则sinαsinβsinγ≤··=··=y,令x1=,x2=,x3=,那么x1+x2+x3=1,且y=··=··=··≤=.当且仅当x1=x2=x3=时取等号,所以sinαsinβsinγ≤,由此推出sinα、sinβ、sinγ中至少有一个不大于,不妨设sinα≤,则α≤30o或α≥150o.当α≥150o时β＜30o,γ＜30o.命题也成立.当s

5、inαsinβsinγ=时,点P既是△ABC的重心,又是△ABC的垂心,此时△ABC是正三角形.证法二用反证法，设30o＜∠PAB，∠PBC，∠PCA<120o,则=sin∠PAB＞sin30o,即2PD＞PA.同理2PE＞PB,2PF＞PC.于是有2(PD+PE+PF)＞PA+PB+PC,这与Erdős-Mordell不等式矛盾.例5设ABCD是一个有内切圆的凸四边形,它的每个内角和外角都不小于60o,证明:

6、AB3–AD3

7、≤

8、BC3–CD3

9、≤3

10、AB3–AD3

11、.等号何时成立?(第33届美国数学奥林匹克试题)证明利用余弦定理,知BD2=AD2+AB2–2AD·ABcos∠DAB=C

12、D2+BC2–2CD·BCcos∠DCB,由已知条件知60o≤∠DAB、∠DCB≤120o，故–≤cos∠DAB≤，–≤cos∠DCB≤,于是3BD2–(AB2+AD2+AB·AD)=2(AB2+AD2)–AB·AD(1+6cos∠DAB)≥2(AB2+AD2)–4AB·AD=2(AB–AD)2≥0,即(AB2+AD2+AB·AD)≤BD2=CD2+BC2–2CD·BCcos∠DCB≤CD2+BC2+CD·BC.再由ABCD为圆外切四边形,可知AD+BC=AB+CD,所以,

13、AB–AD

14、=

15、CD–BC

16、,结合上式,就有

17、AB3–AD3

18、≤

19、BC3–CD3

20、.等号成立的条件是cosA=;AB

21、=AD;cosC=–或者

22、AB–AD

23、=

24、CD–BC

25、=0.所以,等号成立的条件是AB=AD且CD=BC.同理可证另一个不等式成立,等号成立的条件同上.情景再现3.已知四边形ABCD是圆的内接四边形,证明：

26、AC-CD

27、＋

28、AD-BC

29、≥2

30、AC-BD

31、.(第28届美国数学奥林匹克试题)4.若三角形和矩形有相等的周长和面积,则称它们是“孪生的”.证明：对于给定的三角形，存在“孪生的”矩形，该矩形不是正方形，且较长的边与较