一轮复习配套讲义第3篇第4讲函数y＝asin(ωx＋φ的图象及应用

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1、第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用[最新考纲]1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.知识梳理1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.x－ωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得

2、到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．辨析感悟1．对图象变换的认识(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样．(×)(2)将y＝sin2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin的

3、图象．(×)(3)(2013·湖北卷改编)将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是.(√)2．对函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)性质的认识(4)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(×)(5)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(×)(6)(2014·广州二模改编)若函数y＝cosωx(ω∈N*)的一个对称中心是，则ω的最小值为3.(√)[感悟·提升]1．图象变换两种途径的区别由y＝sinx的图象，利用图象变换作函数y＝A

4、sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是

5、φ

6、个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位，如(1)、(2)．2．两个防范　一是平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；二是解决三角函数性质时，要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值与A的符号有关，如(4)；而y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期，如(5).学生用书第57页考点一　函数y＝Asin(ωx

7、＋φ)的图象画法与变换【例1】(1)(2013·广东六校教研协作体二联)已知f(x)＝sin(ω＞0)的图象与y＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos2x的图象(　　)．A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位(2)已知函数y＝2sin.①求它的振幅、周期、初相；②用“五点法”作出它在一个周期内的图象；③说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．(1)解析　依题意T＝π，∴T＝π＝，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)，∴只需y＝cos2x＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)f

8、(x)＝sin(2x＋)．答案　B(2)解　①y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.②令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.列表，并描点画出图象：x－X0π2πy＝sinX010－10y＝2sin020－20③法一　把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．法二　将y＝sinx的图象上所有点的横坐标x缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象

9、；再将y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin的图象．规律方法函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法．(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，