矢量图解运动问题 (2)

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1、专题1O曲线运动的动力学解沈晨专题7《曲线运动曲直谈》中，我们从运动学角度研究了曲线运动，在那里，我们熟悉了描述曲线运动的运动学方法，对圆周运动与抛体运动的运动学规律做了较深入的研究．在这个专题里，我们将从动力学角度研究曲线运动，即掌握各种曲线运动形成及运动状态变化的原因，这对于人们能动地掌控曲线运动是至为重要的．牛顿第二定律阐述了力与加速度的普遍关系，通俗地说就是：什么样的力产生什么样的加速度．在曲线运动中，我们通常将物体所受外力沿切线方向分量的代数和∑Ft称为切向力，而外力沿法线方向分量的代数和∑Fn称为法向力切向力产生切向加速度、决定曲线运动物体速率变化的快慢，法向力产生法向

2、加速度、决定物体运动方向变化的快慢在益线运动中，牛顿第二定律的切向与法向的分量式(动力学方程)为当物体所受外力与运动速度方向不在同一直线时，物体一定做曲线运动，其中，若物体所受外力为恒力，物体做匀变速曲线运动，例如抛体运动；若物体所受外力方向与运动方向总垂直，则切向加速度为零，物体做匀速率的曲线运动，例如做等距螺旋线运动的物体；再如物体所受总垂直于速度的方向的外力大小不变，则法向加速度大小不变，这就是匀速圆周运动．动力学方法求解曲线运动的加速度，首先要作好两项分析，即物体的受力情况分析与运动情况分析，当外力与运动方向不在同一直线的情况下，通常将物体所受各力按运动速度的切向与法向作正

3、交分解，通过建立两个方向七的牛顿第二定律的分量式求得．例l、如图lO-1所示，滑块A的质量为M，由于绳子的牵引而沿水平导轨滑动，绳子的另一端缠绕在半径为r的鼓轮0上，鼓轮以等角速度ω转动．不计导轨与滑块间的摩擦，求绳子的拉力FT与距离x之间的关系们略作些盘点．首先，在竖直平面内发生的圆周运动，是有重力参与提供向心力的，如果没有其他切向力，竖直面上的圆周运动肯定是非匀速率的，机械能是守恒的，在水平直径以上各点均存在一速度的临界值．如图lO一3所示，小物体连接在轻杆一端，在竖直平面内绕杆的另一端做圆周运动，通过水平直径以上位置，杆与水平线问的夹角为θ并正沿圆周向上运动时．将重力沿切向与

4、法向分解，可知，重力的切向分力mgcosθ，方向与速度方向相反，说明物体正做减速率地运动；重力的法向分力mgsinθ与杆的拉力的合力作为向心力，应有式中R为圆轨道半径．从该式可知，线速度v越大，沿轨道运动通过该点时的加速度越大，所需向心力越大，这要靠杆的拉力来适调，因为杆的拉力是微小形变引起的弹力，是一种“适应性力”而重力则是恒力若速度v较小，向心加速度较小，致使只须重力的法向分量提供向心力即可，即这时杆上的弹力为零．若小物体速度小于vo，杆上弹性拉力将转为支持力，此时有故v=√Rgsinθ是杆牵引小物体在竖直平面内做圆周运动时，杆恰无形变，弹力为零杆对小物体的作用效果在“拉”与“

5、推”之间转换的临界速度，而小物体能在竖直面内做完整的圆周运动的条件是到达最高点时的速度v=O若用绳来替换杆，如图10一4甲所示，因绳对小物体不可能产生支持力作用，则在达到临界速度v0时，绳长仍为R但已不张紧，这是物体能在半径为R的竖直圆轨道运动的临界状态，此后绳完全松弛，小物体只受重力作用而做抛体运动这说明，对应于绳与水平线成θ角的位置，物体可沿圆周运动的最小速度vmin=在最高点，这一临界速度值应为，小物体做完整的竖直平面内的圆周运动的条件是通过最高点时的速度不小于√Rg再若将杆替换成环形轨道，如图10—4乙所示，小物体沿光滑轨道外侧运动时，由于轨道对小物体只可能产生“顶”的作用

6、效果．故v0=尤成为小物体不脱离轨道可取的最大速度，而要在轨道最高点不脱轨，小物体的速度不得超过√Rg例2一长为n的细线系着一小球悬挂在。点静止不动．若使小球获得一个水平初速度v0=略去空气阻力．证明：小球的运动轨迹经过悬点o．例3图lO一6所示中，A是一带有竖直立柱的木块，总质量为M，位于水平地面上B是一质量为m的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端．现拉动小球，使绳伸直并处于水平位置然后让小球从静止状态自由下摆．如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面间的静摩擦因数至少为多大?例4如图10一8所示，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在桌边上，球壳与桌子无摩

7、擦，对球壳轻轻一推，使其滚下桌子，试计算球壳脱离桌子的瞬间，球壳中心的速率例5筑路工人为了提高工作效率，把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑至山下．如索道形状为x2=4ay的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看做质量为m的质点，求箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度，并求此时箩筐对钢索的压力在专题6中，我们曾介绍过做直线加速运动的非惯性系与惯性力，我们知道，引入惯性力后，牛顿第二运动定律∑F+F，=ma即可适用于非惯性系．这里，我们介绍“惯性离心力