数学物理方程：第一章 矢量分析与场论基础

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1、第一章矢量分析与场论基础内容提要1）正交曲线坐标系：设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义：在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为式中、、代表循环量1、2、3，，，称拉梅系数。三种坐标系中坐标单位矢量间的关系：柱坐标与直角坐标球坐标与柱坐标球坐标与直角坐标2）矢量及其运算：直角坐标中算符的定义：一个标量函数的梯度为：梯度给出了一点上函数随距离变化的最大速率，它指向增大的方向。一个矢量穿过一个曲面的通量为对一个闭合曲面而言，向外为正。直角坐标系中的散度表示在这一点上每单位体积向外发散的的通量。散度定理：散度的体积分=矢量的面积分其中是由

2、所包围的体积。斯托克斯定理：旋度的面积分=矢量的线积分其中是由所包围的面积。直角坐标系中的旋度拉普拉辛是梯度的散度在直角坐标系中：一个矢量的拉普拉辛定义为：其它坐标也可写成：柱坐标系中球坐标系中1）亥姆霍兹定理：矢量场可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和其中因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究2）函数定义：性质a）偶函数：b）取样性：有机会用到的表达式：1-1.证明：=18+6-24=0说明相互垂直1-1.空白1-2.证明：说明相互垂直1-3.解：当坐标变量沿坐标轴由增至时，相应的线元矢量为：==其中弧长其中令则1-4.解：

3、(1)据算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有其中、暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式将上式右端项的常矢轮换到的前面，使变矢都留在的后面则除去下标c即可(2)利用(1)式的结果即可。(3)据算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有再算子的矢量性，并据公式将常矢轮换到的前面代入得：1-1.(1)证：(1)证：右边第一项的分量同理则(2)1-1.证：所以据公式所以（梯度的旋度等于零）同理1-1.解：1-2.证：用常矢量点乘式子两边得上式左边：利用矢量恒等式：因为为任意常矢量，则设为任意常矢量，令,代入Stokes定理上式左边上面用到：右边则得

4、：因为是任意的，所以1-1.证：据矢量场的散度定理令，和为空间区域中两个任意的标量函数则上式左边所以1-1.函数在M点的散度从它的定义推出如图，考虑的两个端面左端面位于，右端面位于取曲面外法向为正，两个端面对向外的通量的净贡献是同理其余两对面分别是即上式除以并取极限则矢量的散度是其中