解析几何中的对称问题

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1、解析几何中的对称问题　　对称问题是解析几何中重要的基础知识，也是近年来高考的热点之一.高中数学中的对称问题主要分中心对称问题和轴对称问题.　　中心对称：即关于点对称，主要分为点关于点对称、直线关于点对称以及曲线关于点中心对称.　　点关于点对称：两个点关于一个点对称，这两个点连线的中点即为对称点.由此我们可寻求两个点坐标之间的关系：若点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点为P′，则点A为PP′的中点，P′坐标为（2a-x0，2b-y0）.　　例1已知定点F1（-2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点

2、N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是　　（A）椭圆（B）双曲线　　（C）抛物线（D）圆　　解：设N（a，b），M（x，y）.由题意可知F1（-2，0）与M（x，y）关于点N（a，b）对称，故a=，b=.把N，代入圆O的方程x2+y2=1，可得点M的轨迹方程是（x-2）2+y2=4，即点M的轨迹是以F2（2，0）为圆心、半径R=2的圆.　　如图1所示，因为NP是F1M的中垂线，所以PF1=PM.又MF2=R=2，故当点P在圆F2内时，PF2=PM-MF2=PF1-2.　　如图2所示，当点P在圆F2外时，P

3、F2=PM+MF2=PF1+2.　　所以PF1-PF2=PF1-（PF1±2）=±2，即PF1-PF2=2，而2

4、（a，b）对称，则l上的任意一点P（x，y）关于A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）在l′：y=f（x）上，可得l的方程为y=2b-f（2a-x）.　　直线是曲线的一种特例，曲线关于点中心对称问题的本质与直线关于点对称类似，因此上述方法也可以用来求解曲线关于点的对称问题.　　例2如图3所示，已知两定点A（1，-1），B（5，3），一动点P在直线l：2x-y-4=0上移动，求平行四边形APBQ的另一个顶点Q的轨迹方程.　　解：设Q点坐标为（x，y），P点坐标为（x0，y0）.AB中点C（3，1）.由题意可知P，Q两点关于点C对称，

5、所以点Q的轨迹即为直线l：2x-y-4=0关于点C（3，1）的对称直线.　　因为点P，Q关于点C对称，故C为PQ中点，由此可得x0=6-x，y0=2-y.又P（x0，y0）在直线l上，代入直线l：2x-y-4=0得2（6-x）-（2-y）-4=0，即2x-y-6=0，所以顶点Q的轨迹方程为2x-y-6=0.　　点评：例2利用平行四边形APBQ的对角线互相平分，得到P，Q关于AB中点C对称，从而由点P的轨迹方程得到点Q的轨迹方程.此外，还可以利用点P的轨迹直线l关于点C的对称图形是与直线l平行的直线l′、且点C到直线l，l′的距离相等求解.

6、　　轴对称：即图象关于直线对称，高中阶段主要考查点关于直线对称、直线关于直线对称问题.　　点关于直线对称：两个点关于一条直线对称，那么这两个点的连线与这条直线垂直，并且两个点连线的中点在这条直线上.利用这两个关系，我们就可以找到两个点坐标之间的数量关系.　　若点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x，y），则PP′的中点Q，在直线y=kx+b上，且直线PP′垂直于直线y=kx+b.通过建立方程组?k=-1，=k?+b，可求得点P′（x，y）的坐标.　　特别地，当k=1时，x=y0-b，y=x0+b；当k=-1时，x=-y0

7、+b，y=-x0+b.当对称直线的斜率k=±1时，可以用此法快速求得对称点的坐标.　　例如点P（1，2）关于直线y=-x-2的对称点为P′（x，y）.将P（1，2）代入x=-y0+b，y=-x0+b.可解得P′点的坐标为（-4，-3）.　　例3双曲线x2-=1上的两点A，B关于直线y=-x+1对称，则直线AB的方程为　　A.y=xB.y=x+1　　C.y=x-1D.y=x+　　解：如图4所示，因为A，B关于直线y=-x+1对称，故直线AB的斜率为1.设直线AB的方程为y=x+m，代入双曲线方程得x2-2mx-m2-2=0.结合韦达定理可得

8、，AB的中点P的横坐标为xp==m，代入y=x+m可得yp=2m.　　由直线AB关于y=-x+1轴对称可知点P（m，2m）在直线y=-x+1上，解得m=，故选D.　　点评：例3是一道典型的圆锥