数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案(1)

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1、《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（），说明边界上的约束情况的条件叫（），二者统称为（）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（）.3.在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（）.4.边界条件是第（）类边界条件，其中为边界.5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换为（）.6.由贝塞尔函数的递推公式有（）.7.根据勒让德多项式的表达式有=（）.8.计算积分（）.9.勒让德多项式的微分表达式为（）.10.二维拉普拉斯方程的基本解是（）.二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）

2、：1.2.3.三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：六、在半径为1的球内求调和函数，使它在球面上满足，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:(本题的只与有关，与无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2.3..4.三.5..6..7..8..9..10..二、试用分离变量法求以下定解问题1.解令，代入原方程中得到两个常微分方程：，，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有

3、非零解，令，得到为特征值，特征函数，再解，得到，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为2.解令，代入原方程中得到两个常微分方程：，，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到为特征值，特征函数，再解，得到，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为3.解由于边界条件和自由项均与t无关，令，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此，再由边界条件有，于是，.再求定解问题用分离变量法求以上定解问题的解为故三.解：令，代入原方程中，将方程齐次化，因此，再求定解问题由达朗贝尔公式得到以上问题的解为故四.解：对y取

4、拉普拉斯变换，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到，解这个微分方程得到，再取拉普拉斯逆变换有所以原问题的解为.五.证明：由公式有，令有，所以，又，所以.六．解：由分离变量法，令，得到，由边界条件有，令，，，，故