步步高大一轮复习讲义1.2命题及充分条件必要条件

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1、§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题．其中______________的语句叫真命题，____________的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性____________．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的______

2、________，q是p的______________；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的______________．[难点正本　疑点清源]1．用集合的观点，看充要条件设集合A＝{x

3、x满足条件p}，B＝{x

4、x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而

5、，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．1．(课本改编题)给出命题：“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______．2．(课本改编题)下列命题中所有真命题的序号是________．①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；②“

6、a

7、>

8、b

9、”是“a2>b2”的必要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．3．(课本改编题)“x>2”是“<”的________条件．4．(2011·天津)设集合A＝{x∈R

10、x－2>0}，B＝{x∈R

11、x<0

12、}，C＝{x∈R

13、x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β”是“sinα>sinβ”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题型一　四种命题的关系及真假判断例1　以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命

14、题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．探究提高　(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“

15、不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．题型二　充分、必要、充要条件的概念与判断例2　指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.探究提高　判断p是q的什么条件，需要从

16、两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．给出下列命题：①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝

17、x－a

18、在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所

19、对的边，若a＝1，b＝，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．题型三　充要条件的证明例3　求证：关于x的方程ax2＋2x＋1