多元线性回归分析模型

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1、数学建模电子教案第7次课课题第四章概率统计模型多元线性回归分析决策模型教学内容1.多元线性回归分析2.随机决策模型的基本原理与解法，及应用举例。教学目标1.掌握多元线性回归分析的基本原理和建模的基本过程。2.能够运用多元回归分析模型解决实际问题并进行模型分析。3.掌握决策模型的计算方法，能够运用决策模型解决实际问题并进行模型分析教学重点1．多元线性回归分析的基本原理，基本过程及其计算方法。2.掌握随机决策模型的基本原理和建模的基本过程。3.掌握决策模型的计算方法。4.实际建模训练教学难点1.多元线性回归分析的基本原理及其数值计算、运用模型解决实际问题2.随机决策模型的基本原理

2、及其决策准则的确定双语教学内容、安排Linearregressionanalysis线性回归分析Multivariateregressionanalysis多元回归分析decisionanalysis决策分析Decisionrule决策规则Decisiontree决策树教学手段、措施采用多媒体教学的形式。以电子课件为主，粉笔黑板相结合为辅，使学生能够充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识,并结合启发式教学.作业、后记教学过程及教学设计备注§4.1多元线性回归分析一．问题提出水泥凝固时放出热量问题：某种水泥在凝固时放出的热是与水泥中下列4种化学成分有关。的成分（%）的成分

3、（%）的成分（%）的成分（%）现记录了13组数据，列在表4－1中，根据表中的数据，试研究与四种成份的关系。数学建模电子教案第7次课表4－1编号172666078.52129155274.531156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4在现实生活中，变量与变量之间经常存在一定的关系，一般来说，变量之间的关系可以分为两大类，一类是确定性的关系，这种关

4、系通常用函数来表示。例如，已知圆的半径，那么圆的面积与半径的关系就可用函数关系：来表示，这时如果取定了的值，的值就会完全确定了。另一类是非确定性关系，例如，人的体重与身高之间的关系就是非确定性关系，一般来说，身高越高，体重越大，但是身高相同的人体重往往是不相同的。再如，钢材的强度与钢材中含某种元素的含量，纤维的拉伸倍数与强度，降雨量、气温、施肥量与农作物的产量等均属于这种关系。变量之间的这种非确定性关系通常称为相关关系。二．多元线性回归分析模型为了研究方便，我们考虑一个变量受其他变量影响时，把这变量称为因变量，记为，其他变量称为自变量，记为，这时相关关系可记作（4－1）其中为

5、当时，因变量的均值，即称为对的回归函数，为与的偏差，它是随机变量，并假定。回归函数可以是一元函数，也可以是多元函数，即（4－2）其中为回归分析就是数理统计中研究相关关系的一种数学方法，它就是通过大量的试验或观测，发现变量之间关系的统计规律。数学建模电子教案第7次课元回归函数，统称为多元回归函数。若回归函数中，且是线性函数，则称为是一元线性回归函数；且是多元线性函数，则称其为多元线性回归函数；若回归函数是非线性函数，则称其为非线性回归函数。对非线性回归，经常采用线性化的方法来处理。所以，目前研究最多的是线性回归问题，且假定和均服从正态分布。回归分析的任务就是要求出满足式（4－2

6、）的回归函数,从而对所研究的相关关系做出所需的预测和控制。多元回归模型的应用是相当广泛的，例如，某种商品的销售量可能受收入水平、风俗习惯、产品质量、价格、宣传广告等多种因素的影响；某种产品的质量可能受生产该产品时的温度、湿度、压力、原材料的质量和有害成分的含量等影响；工人的劳动生产率可能受学历、智力水平、情绪的稳定性和才能等因素的影响；某城市的用水量可能与该城市的人口数及工业总产值有关。诸如此类的关系，可以通过多元回归分析模型进行研究。例如，在水泥凝固时放出热量问题中，可建立线性回归模型（4-3）其中。而和是未知参数，为了估计这些参数，将表4－1的值代入模型（4－3），得线性

7、模型（4-4）一般地，多元线性回归模型可表示为：（4-5）其中，是自变量，为常数，为回归系数，皆为未知，统称为回归参数，一旦回归参数确定，则多元线性回归模型就完全确定，一般假定随机误差。为了得到回归参数的估计值，就要对变量进行观测，假设对变量的次独立观测数据为：，则这些观测数据应满足式（4－5），即有（4-6）其中，若记，则多元线性回归的数学模型式（4－6）可以写成矩阵形式（4－7）其中。数学建模电子教案第7次课1.参数的最小二乘估计为了获得参的估计，我们采用最小二乘法，即选择，使（4－8）达到最小。将