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1、非线性最优化中超线性收敛的序列线性方程组方法北方交通大学Dec1995摘要:提出j一个超线性收敛的序列线性方程组亏法(SSLE).此方法与现有的序列二次规划(sQP)方法相比,其优点有:(1)由于新方法每一次迭代只需计算三个系数矩阵完全相同的线性方程组,因此迭代的计算量减少且算法的稳定性提高;(2)每一次连代产生的点是可行的;(3)具有一步超线性收敛速度关键词:垂丝:垦童堡垫t些塾些堕分类号巡12?n上年/,r,彘IV,随着现代工程设计的日趋复杂,各种经济活动规模的扩大,产生了许多较大规模的非线性优化问题但就目前在
2、实际优化问题中应用较广的序列二次规划(sOP)方法来看,尽管其具有良好的超线性收敛性质,但依然存在下较难解决的问题:(1)要求每步迭代中求解的二次子规划必须有解但实际运算时,这种二次子规划往往出现无解的情况;(2)由于二次予规划的求解难利用稀疏性,对称性等有关好的性质,因此序列二次规划方法一般只能应用于中小型优比问题的求解;(3)序列二次规划方法的每步迭代的计算量较大,且随着精度的提高,稳定性较低;(4)序列二次规划方法每步迭代产生的点一般都不可行但在许多与工程应用相关的问题中,通常都需算法每步迭代的点是可行的所以
3、如何解决上述4个问题,对最优化的理论和应用都具有重要意义本文在文献I]的基础上,提出了一个超线性收敛的序列线性方程组方法rSSLE),较圆满地解决了上述4个问题我们的基本思路是:将序列二次规划方法中的=次子规划用三个具有相同系数矩阵的线性方程组米取代以便充分利用求解线性方程组的一些特点,来构造一个能克服E述4个同题的新方法1问题,记号与算法我们讨论如下的不等式约束优化问题(P):frainf(z)st.()≤O,_l,2,…,m这里r=(z】,?一,)∈E1.1记号与条件记号为:X={zst毋(2-)≤0,,:1,
4、…,!,X0:I321s.t(_丁)<O,J..1.…,r,j().Stg,()0,=l,…,m}.所需的假设条件如下:【条件l】集合x与x非空;文备8矍#;.课题及博士后基金资助课冠北方交通大学第l9卷【条件2】函数f,毋,J:1,…,m连续可微.I.2计算步骤参数取值为.∈(o,专),p∈(0,1),u>2,∈(o1),r/>2,r∈(2,3)y∈'O,1),五>0.步骤0选取X0∈X0,H0∈E为一正定矩阵,0<0.≤,J=1,2,…,m一令0步骤1计算搜索方向(1)在下面线性系
5、统(LS1)中计算^2和2:(2)在下面线性系统(L,s2)中计算k和d:【Hkd+v,(★)+E,vgj(x):o,,】l毋()Td+a~i(x^)=一,lId2,j=1,…,m.(3)令d=(1一)d2+P,=(1一)2+.f1如~Vf(x)≤,(z)Td2舯1(1-e其它(4)计算:{js.t.J-k,)≤毋(z)},"={Js.t.一.≤gj()I.(5)在下面线性系统(Ls3)中计算和:『Hk(a一以)+Ev(z)=0,J【l.JV()(d～以)+西(z)+,=0,=1,…,m.J,尚(z+dk)一1o如
6、果j∈其它..步骤2线搜索计算t:为{1,p,,…f中满足下式的最大值.,(z+td+t2(&(+td+(台一))≤毋(),j∈,(+步骤3修正利用变尺度修正公式得到H+1.如果≠雪,令=PoJ:1,2,…,m;否则,令+I_,=mnimaxtk1}dll},;!,J=1,…,m令z+1=z+l(一d),:+1,转到步骤1.2全局收敛性与收敛速度为了得到算法的全局收敛性,我们将进一步假设【条件3】集合xn{zst.f(x)≤,(z0){为紧集==仉:∑+_H^止睁则=幂如一等>"m一=里果这如酣<
7、;≤第4期高自友等:非线性最优化中超线性收敛的序列线性方程组方法【条件4】V∈X,向量组{V毋(),J∈f()f是线性无关的向量组【条件5】存在l,2>0,使得l1ld女1I≤dTH≤211d1I,对所有的k及任意的d∈E由于新算法的全局收敛性证明完全类似于文献[1],所以这里我们将不加证明而直接给出一些引理及全局收敛性定理.目f理1对任意z∈X及任意对称正定阵H.如果当gJ()=0有一>0,且≥0,J=l,2,…,.则矩阵F(,H,)Hlvgl()【Vg()Vgl()gl()0Vg()]0g()J是非
8、奇异的.从此引理可以看出,在现有假设下,线性系统(Ls1)～(L)必有唯一解.引理2搜索方向d女满足:vf(x)d≤of(x)≤一甜H2,且V毋()d<0,j∈J引理3设有j如l∈K—,{}∈一,一∞,且设当岛()=0时有>0.那么存在一常数C0>0使得∈K,有l1d女一≤C011d211,11一11≤C0I1d2.此引理的结论,将在后面的
