专题：由运动产生的线段和差问题

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1、2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编专题6：由运动产生的线段和差问题1.（2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）的“非常距离”，给出如下定义：若∣x1－x2∣≥∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣x1－x2∣；若∣x1－x2∣＜∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣y1－y2∣.例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P1与点P2的“非常距离”为∣2－5∣=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q

2、长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。（1）已知点，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。www.1230.org初中数学资源网，我们一直在努力【答案】解：（1）①（0

3、，－2）或（0，2）。②。（2）①设C坐标为，如图，过点C作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q。由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点D的“非常距离”最小，∴。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。∴点C与点D的“非常距离”的最小值距离为，此时。②设直线与x轴和y轴交于点A，B，过点O作直线的垂线交直线于点C，交圆于点E，过点C作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q，过点E作EM⊥x轴于点M，作EN⊥y轴于点N。易得，OA=4，OB=3，AB=5。由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=，ON=。∴。设C坐标为

4、由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C与点E的“非常距离”最小，∴。两边平方并整理，得，www.1230.org初中数学资源网，我们一直在努力解得，或（大于，舍去）。∴点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1，此时，。【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。（2）①解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C’点，其与点

5、D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。②同①，同时理解当OC垂直于直线时，点C与点E的“非常距离”最小。2.（2012广西南宁10分）已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（－1，y）．（1）如图1，若点C（x，0）且－1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B的坐标为（－1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形

6、ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．www.1230.org初中数学资源网，我们一直在努力【答案】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E．在△BCD与△CAE中，∵∠BCD=∠CAE=90°－∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，∴△BCD∽△CAE，∴。∵A（3，4），B（－1，y），C（x，0）且－1＜x＜3，∴。∴y与x之间的函数关系式为（－1＜x＜3）。（2）y没有最大值。理由如下：∵，又∵－1＜x＜3，∴y没有最大值。（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于

7、x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小。∵A（3，4），∴A′（2，4）。∵B（－1，1），∴B′（－1，－1）。设直线A′B′的解析式为y=kx+b，则，解得。∴直线A′B′的解析式为。当y=0时，，解得。www.1230.org初中数学资源网，我们一直在努力∴线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（，0）。【考点】一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，轴对称的性质，三角

8、形三边关系。【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，先证明△BCD∽△CAE，再根据相似三角形对应边成比例即可求出y与x之间的函数关系式。（2）先运用配方法将写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解。（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定