电磁学(赵凯华)答案[第1章 静电场]

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1、1.　　有两个相距为2a，电荷均为+q的点电荷。今在它们连线的垂直平分线上放置另一个点电荷q'，q'与连线相距为b。试求：（1）q'所受的电场力；（2）q'放在哪一位置处，所受的电场力最大？解：解法一　　用直角系分解法求解。取直角坐标系，两q连接的中点为坐标原点O，如图所示。(1)由库仑定律可知，两电荷q施加给q’的电场力F1和F2的大小分别为:F1和F2分别在X轴和Y轴上的投影为:于是电荷q’所受的合力F在X轴方向的分量为:因此，电荷q’所受的合电力F的为在Y轴方向的分量,大小为:方向沿Y轴方向。(2)根据q’所受的电力F=Fj,设式中b为变量，求F对变量b的极值，有

2、:可得:　　　　　　　　　　　得:　　　　　　　　　　　　由于：　　　　　　　　　　　所以，当q’放在处时，所受的电场力最大。　解法二本题也可以直接用矢量合成法求解。(1)　根据库仑定律，q’所受的电力F1和F2分别为有电场力叠加原理可知，q’所受的合力F为:此结果与解法一相同。如果选取的电荷q’与q同号，F方向与Y轴同向；如果q’与q异号，F方向与Y轴反向。(2)同解法一（略）。２.　如图所示，在边长为a的正方形的4个顶点上各有一带电量为q的点电荷。现在正方形对角线的交点上放置一个质量为m，电量为q0(设q0与q同号)的自由点电荷。当将q0沿某一对角线移动一很小的距离

3、时，试分析点电荷q0的运动情况。解:　如图所示，取坐标轴OX，原点O在正方形的中心，顶点上的点电荷到O电的距离为。沿X轴方向使q0有一小位移x(x<

4、荷密度为+λ（1）另外，在垂直于它的方向放置着一根长为L的均匀带电线AB,其线电荷密度为+λ（２）试求她们间的相互作用力。解解法一由题意可知，两直线均匀带电。由于库仑定律只适用于电电荷系统，因此，需将两带电直线分成许多电荷元，选取直角坐标系，如图(b)所示，有dq1=λ1dy,dq2=λ2dx。根据库仑定律，可得dq1施加给dq2的作用力为：　　　　　　　r为两电荷元之间的距离。将dF沿X、Y轴投影，得:　　　　dFx=dFcosθ,dFy=dFsinθ根据对称性可得，为零。因此，F只沿X轴正向，即:解法二有电场强度定义求解。带电直线L处于无限长带电直线产生的电场中，若

5、把带电直线L视为许多电荷元dq2的集合，则电场对每个电荷元的作用力为dF=Edq2，各电荷元的dF的矢量和，即为带电直线L所受的电场力。如图（b）所示。在距无限长带电直线x处任取一电荷元dq2=λ2dx，由无限长带电直线场强公式可知，dq2处的场强为:　　方向沿X轴正向。于是有:由于各电荷元所受力的方向均沿X轴正向，所以:若问题中的λ1和λ2异号，则F沿X轴负向。根据作用力和反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力F’，其大小与F相等，方向相反。4　　如图所示，在真空中有电量分别为+Q和-Q的A、B两带电平板相距为d（已知d很小），面积为S。试分析两板间的相互作用

6、力的大小。解对于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律，则；又有人说，根据F=QE，有题意可知A、B两板可近似认为是无限大带电板，于是，则。实际上两种说法都不对。在第一种说法中，因为d很小，因此两带电板已不能看作是点电荷系统。因此，该问题不能直接用库仑定律求解。在第二种说法中，虽然F=QE是正确的，但对E的理解有误。因为F=QE中的E是指Q所在处的场强，而在第二种说法却把两板的合场强看作为Q所在处的场强，因此也是不对的。正确的解法是，A板上的电荷Q在B板Q产生的场中，其，因此，A板上的电荷Q能受的电场力为:同理这是一对作用力和反作用力。5.如图（a）所示，半径为R的带

7、电圆盘，其电荷面密度沿圆盘半径呈线形变化，为:。试求在圆盘直线上距圆盘中心O为x处的场强E。解:取圆心O为坐标圆点，垂直圆盘指向点P的方向为X轴正方向。解法一将圆盘分成为许多扇形面积，再把每一个扇形面积分成许多弧状带，如图（a）所示。有一与圆点O相距r的弧状带，带宽为dr，扇形角为dθ,其上带电量为:dq=σds=σrdθdr,dq在P点产生场强dE，如图（a）所示。将dE分解为平行与X轴的dEx分量和垂直于X轴的dE⊥分量，由圆盘的对称性分析可知，点P的场强只有沿X轴方向的分量。因此，只需把全部电荷元再点P的场强dEP的x分量dEPx积