数学必修4三角函数与平面向量

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1、数学必修4三角函数与平面向量第一章三角函数1.1.1任意角1**学习目标**1．认识角扩充的必要性，了解任意角的概念；2．会用集合和数学符号表示终边相同的角，象限角以及区间角；3．会用运动的观点认识任意角的概念以及终边相同的角、象限角和区间角的集合表示．**要点精讲**1．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定，按逆时针旋转形成的角叫做正角，按顺时针旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．2．直角坐标系内讨论角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．如果角

2、的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限．3．所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．**范例分析**新课引入：钟面上的时针与分针从时出发，问经过几时几分第一次重合？例1．在（指）范围内，找出与角终边相同的角，并判断它是第几象限的角．例2．（1）写出终边在轴上的角的集合．终边在轴上的角的集合呢？终边在坐标轴上的角的集合呢？（2）写出终边在直线上的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来．7例3．（1）若角的终边与角的终边关于轴对称，则．（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则．（3）若角的终边与角的终边关于原点对称，则．例4．（1

3、）已知是第四象限角，试确定，角所在的象限；（2）如图，分别写出角的终边在甲、乙图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．**规律总结**1．数学是讲究简洁性的，通过数学概括能使表达更加简洁，如例2．把终边在轴上的角的集合写成.同样，可以把终边在轴上的角的集合写成，终边在坐标轴上的角的集合写成。2．终边在同一直线上的角有两个，都可以合并在一个集合中，设其中一个角为，则终边在此直线上的角的集合是。3．在角中，适当取整数的值，把它化成7的形式，从而确定出角的终边的位置。4．用区间来表示的角叫做区间角，区间角表示角的取值范围，象限角是区间角，终边在某一区域内的可以用区间角表示，如例4．**基础训练**一、

4、选择题1．角所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设小于的角，第一象限角，则（）A．锐角B．小于的角C．第一象限角D．第一象限且小于的角3．下列各组角中，终边相同的是（）A．B．C．D．4．已知是第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第四象限C．第一或第三象限D．第二或第三象限5．如果角与角的终边相同，角与角的终边关于轴对称，则与的关系是（）A．B．C．D．二、填空题6．与角终边相同的角的集合是，它们中最小的正角是，最大的负角是，它们是第象限角．7．如图，终边在阴影部分内的角的集合（不包括边界）是．8．如果为小于的正角，这个正角的倍角的终边与这

5、个角的终边重合，则．三、解答题9．（1）写出与终边相同的角的集合；（2）若角，且，求角。710．若角的终边与角的终边分别关于轴、轴、原点、直线对称，分别写出这些角的集合．**能力提高**11．已知，，（）A．B．或C．或D．或12．半径为的圆心位于坐标原点，点从点出发，以逆时针方向等速沿单位圆圆周旋转，已知秒钟内转过的角度为，经过秒钟到达第三象限，经过秒种后又恰好回到出发点，求角的值．第一章三角函数1.1.1任意角1**参考答案**7新课引入：分析：第一次重合时，分针比时针多旋转了．应用题，考虑旋转量，可不考虑正负角解：设过小时时针与分针第一次重合，因为时针每小时顺时针旋转，分针每小时顺时针旋

6、转，所以小时时针顺时针旋转度，分针顺时针旋转度（分针每分钟旋转度），依题意得，答：经过小时分钟，时针与分针第一次重合．例1．分析：方法1：把角写成的形式；方法2：把与角终边相同的角的集合写出来，然后取适当的整数的值，使．解：方法1：除以，商为，余数为，故，所以在范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限的角．方法2：与角终边相同的角的集合，集合中适合的元素是：当时，，所以在范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限的角．例2．（1）在范围内，终边在轴上的角有两个，即，角．所有与角终边相同的角构成集合，而所有与角终边相同的角构成集合于是，终边在轴上的角的集合7（2）在范围内，终边在直线上的角有两个，

7、即，角．因此，终边在直线上的角的集合中适合不等式的元素是时对应的，，，，，．例3．分析：设一基本角，角与角用来表示解：（1）设，则，所以，所以（2）设，则，所以，所以．（3）设，则，所以，所以．例4．（1）∵是第四象限角，∴，①，∴是第三或第四象限的角或终边在轴的非正半轴上②，∴当为偶数时，是第四象限的角，当为奇数时，是第二象限的角（2），**基础训练**答案1．C提示：72．D提示：第一象限且小