第5章 振动和波动习题解答

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1、第5章振动和波动5-1一个弹簧振子，，振幅，求(1)振动的角频率、最大速度和最大加速度；(2)振子对平衡位置的位移为x=0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力；(3)以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。解：（1）(2)设，则当x=0.02m时，，所以(3)作旋转矢量图，可知：5-2弹簧振子的运动方程为，写出此简谐振动的振幅、角频率、频率、周期和初相。解：5-3证明：如图所示的振动系统的振动频率为式中分别为两个弹簧的劲度系数，m为物体的质量。习题5-3图解：以平衡位置为坐标原点，水平向右为x

2、轴正方向。设物体处在平衡位置时，弹簧1的伸长量为,弹簧2的伸长量为，则应有当物体运动到平衡位置的位移为x处时，弹簧1的伸长量就为，弹簧2的伸长量就为，所以物体所受的合外力为由牛顿第二定律得即有上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为振动的频率为5-4如图所示，U形管直径为d，管内水银质量为m，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。习题5-4图解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为x轴正方向，建立坐标系。右液面偏离原点为至x时，振动系统所受回复力为：振动角频率振动周期5-5如图所示

3、，定滑轮半径为R，转动惯量为J，轻弹簧劲度系数为k，物体质量为m，现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力。试证明该系统作简谐振动，并求其作微小振动的周期。解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为x轴正方向，建立坐标系。设平衡时弹簧伸长，有：（1）物体位于x位置时（以原点为重力势能零点）：对上式两边求导：从上式消去v，且将（1）式代入，得到说明系统作简谐振动。振动周期为：5-6如图所示，轻弹簧的劲度系数

4、为k，定滑轮的半径为R、转动惯量为J，物体质量为m，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。习题5-6图解：设任意时刻t，物体m离平衡位置的位移为x，速率为v，则振动系统的总机械能式中C为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对t求导得于是5-7如图所示，质量为10g的子弹，以速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作简谐运动，若木块质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为，求振动的振幅。（设子弹射入木块这一过程极短）解：先讨论子弹与木块的碰撞过程，在碰撞过程中，子弹与木块组成的系统的

5、动量守恒，设碰撞后子弹与木块共同以速度v运动，则有然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅A可由初始时刻系统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有5-8如图所示，在一个倾角为的光滑斜面上，固定一个原长为、劲度系数为k、质量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为m的重物，求重物作简谐运动的平衡位置和周期。解：设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为,则平衡位置距点为：以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox，当物体运动到离开平衡位置的位移为x处时，弹簧的伸长量就是,所以物体所受的合外

6、力为物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为5-9两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们相差，并用旋转矢量图表示出来。解：根据题意，两质点分别在和处相向通过，由此可以画出相应的旋转矢量图，从旋转矢量图可得两个简谐振动的相位差为。习题5-9图5-10一简谐振动的振幅A=24cｍ、周期T=3s，以振子位移x=12cm、并向负方向运动时为计时起点，作出振动位移与时间的关系曲线，并求出振子运动

7、到x=-12cｍ处所需的最短时间。习题5-10图解：依题意可得，，又由旋转矢量法可知所以振动方程为：质点运动到x=-12cｍ处最小相位变化为，所以需要最短时间为5-11如图所示，一轻弹簧下端挂着两个质量均为m=1.0kg的物体B和C，此时弹簧伸长2.0cｍ并保持静止。用剪刀断连接B和C的细线，使C自由下落，于是B就振动起来。选B开始运动时为计时起点，B的平衡位置为坐标原点，在下列情况下，求B的振动方程(1)x轴正向向上；(2)x轴正向向下。习题5-11图解：已知m=1kg,,可得当以B的平衡位置为坐标原点

8、，振动振幅为由题意知，振动初速度(1)x轴正向向上时：振动方程为(2)x轴正向向下时：振动方程为5-12劲度系数为k的轻弹簧，上端与质量为m的平板相联，下端与地面相联。如图所示，今有一质量也为m的物体由平板上方h高处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期、振幅和初相。习题5-12图解：物体下落与平板碰撞前速度：所以物体与平板碰撞后共同运动的速度：以平衡位置为坐标原点，向下为x轴