理论力学谢传锋第九章习题解答

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1、第九章部分习题解答M1gM2gFI2FI1δx2δx19－2解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重力。如图（a）所示，假设重物的加速度的方向竖直向下，则重物的加速度竖直向上，两个重物惯性力为（a）该系统有一个自由度，假设重物有一向下的虚位移，则重物的虚位移竖直向上。由动力学普遍方程有（a）M2gTa2（b）根据运动学关系可知（c）将(a)式、(c)式代入(b)式可得，对于任意有（b）方向竖直向下。取重物为研究对象，受力如图（b）所示，由牛顿第二定律有解得绳子的拉力。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方

2、程求解。9－4解：如图所示该系统为保守系统，有一个自由度，取为广义坐标。系统的动能为取圆柱轴线O所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为12零势面拉格朗日函数，代入拉格朗日方程整理得摆的运动微分方程为。h零势面9－6解：如图所示，该系统为保守系统，有一个自由度，取弧坐标为广义坐标。系统的动能为取轨线最低点O所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为由题可知，因此有。则拉格朗日函数代入拉格朗日方程，整理得摆的运动微分方程为。解得质点的运动规律为，其中为积分常数。9－13解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有

3、一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能为12如图所示，取为零势位，图示瞬时系统的势能为零势位则拉格朗日函数代入拉格朗日方程，整理得质点的运动微分方程为2.求维持圆环作匀速转动的力偶如果求力偶，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度和圆环绕轴AB的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以代替，则拉格朗日函数为力偶为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力偶所做的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力偶所做的

4、虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力。代入拉格朗日方程，整理可得代入拉格朗日方程，整理可得圆环绕铅垂轴AB以匀速转动，即，代入上式可得。129－14解：以刚体为研究对象，有一个自由度。如图（a）所示，取和OC的夹角为广义坐标。若以框架为动系，则刚体的相对运动是以角速度绕轴的定轴转动，牵连运动是以角速度绕轴的定轴转动，绝对角速度是和的矢量和。以为轴，为轴，建立一个固连在刚体上的坐标系，该刚体的角速度可表示成x’z’y’z’GO3θ垂直于O1O2的平面y’（a）（b）由于坐标系的三个坐标轴为过点的三个惯量主轴，则系统的动能为取为零势位，图示瞬时系统的

5、势能为，则拉格朗日函数代入拉格朗日方程，整理可得物体的运动微分方程为9－1512解：框架（质量不计）以匀角速度绕铅垂边转动，系统有一个自由度，取AB杆与铅垂边的夹角为广义坐标。若以框架为动系，AB杆上任意一点的速度是该点相对于框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直,因此杆AB的动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。如图所示，AB杆相对于框架作平面运动，“速度瞬心”为O点，设AB杆的质心为C，由几何关系可知，则质心为C的速度大小为。杆AB相对于框架运动的动能CO杆AB随框架转动的动能系统的动能。假

6、设时杆势能为零，则任意位置系统的势能为。则拉格朗日函数代入拉格朗日方程，整理得系统的运动微分方程由于角描述的是杆AB相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相对运动微分方程。9－17xs解：取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移，以及楔块B相对于A滑动的位移为广义坐标。若以楔块A为动系，则楔块A的速度，楔块B的速度，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）系统的动能为12取过轴的水平为零势面，某瞬时系统的势能为。则拉格朗日函数水平力对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力所做的虚

7、功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力所做的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力。代入拉格朗日方程，整理可得（a）代入拉格朗日方程，整理可得（b）由方程（a）、（b）解得楔块A的加速度：，方向水平向右。楔块B的相对加速度：，方向沿斜面向上。9－18解：取楔块ABC和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平滑动的位移，以及圆柱的转角（A点=0）为广义坐标。若以楔块为动系，则楔块的速度，圆柱轴心O的速度，以及轴心O相对A12的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）xφ零势面圆柱在斜面上作纯滚动有：。系统

8、的动能为取过楔块上A点的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为则拉格朗日函数代入拉格朗日方程，整理可得（a）代入拉格朗日方程