求数组中最长递增子序列

《求数组中最长递增子序列》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、求数组中最长递增子序列写一个时间复杂度尽可能低的程序，求一个一维数组（N个元素）中的最长递增子序列的长度。例如：在序列1，-1，2，-3，4，-5，6，-7中，其最长的递增子序列为1，2，4，6。分析与解法根据题目的要求，求一维数组中的最长递增子序列，也就是找一个标号的序列b[0],b[1],…,b[m](0<=b[0]

2、这个状态来影响。换句话说，每个状态都是历史的一个完整总结。同样的，仍以序列1，-1，2，-3，4，-5，6，-7为例，我们在找到4之后，并不关心4之前的两个值具体是怎样，因为它对找到6没有直接影响。因此，这个问题满足无后效性，可以通过使用动态规划来解决。可以通过数字的规律来分析目标串：1，-1，2，-3，4，-5，6，-7。使用i来表示当前遍历的位置当i=1时，显然，最长的递增序列为（1），序列长度为1.当i=2是，由于-1<1。因此，必须丢弃第一个值后重新建立串。当前的递增序列为（-1），长度为1。当i=3时，由于2>1,2>-1。因此，最长的递增序列为（1,2）,(-1,2),长度为2

3、。在这里，2前面是1还是-1对求出后面的递增序列没有直接影响。（但是在其它情况下可能有影响）依此类推之后，我们得出如下的结论。假设在目标数组array[]的前i个元素中，最长递增子序列的长度为LIS[i]。那么，LIS[i+1]=max{1,LIS[k]+1},array[i+1]>array[k],foranyk<=i即如果array[i+1]大于array[k],那么第i+1个元素可以接在LIS[k]长的子序列后面构成一个更长的子序列。于此同时array[i+1]本身至少可以构成一个长度为1的子序列。根据上面的分析，就可以得到代码清单C++代码：intMax(int*a,intn){i

4、ntmax=a[0];for(inti=1;i&array){int*a=newint[array.size()];for(inti=0;iarray[j]&&a[j]+1>a[i]){a[i]=a[j]+1;}}}returnMax(a,array.size());}这种方法的时间复杂度为O(N2+N)=O(N2)解法二在前

5、面的分析中，当考察第i+1个元素的时候，我们是不考虑前面i个元素的分布情况的。现在我们从另一个角度分析，即当考察第i+1个元素的时候考虑前面i个元素的情况。对于前面i个元素的任何一个递增子序列，如果这个子序列的最大的元素比array[i+1]小，那么就可以将array[i+1]加在这个子序列后面，构成一个新的递增子序列。比如当i=4的时候，目标序列为1，-1，2，-3，4，-5，6，-7最长递增序列为(1,2),(-1,2)。那么，只要4>2,就可以把4直接增加到前面的子序列中形成一个新的递增子序列。因此，我们希望找到前i个元素中的一个递增子序列，使得这个递增子序列的最大的元素比array

6、[i+1]小，且长度尽量地长。这样将array[i+1]加在该递增子序列后，便可以找到以array[i+1]为最大元素的最长递增子序列。仍然假设在数组的前i个元素中，以array[i]为最大元素的最长递增子序列的长度为LIS[i]。同时，假设：长度为1的递增子序列最大元素的最小值为MaxV[1];长度为2的递增子序列最大元素的最小值为MaxV[2];……长度为LIS[i]的递增子序列最大元素的最小值为MaxV[LIS[i]];本循环不变式P是：P：k是序列a[0:i]的最长递增子序列的长度，0≤i＜n。容易看出，在由i-1到i的循环中，a[i]的值起关键作用。如果a[i]能扩展序列a[0;

7、i-1]的最长递增子序列的长度，则k=k+1，否则k不变。设a[0;i-1]中长度为k的最长递增子序列的结尾元素是a[j](0≤j≤i-1)，则当a[i]≥a[j]时可以扩展，否则不能扩展。如果序列a[0;i-1]中有多个长度为k的最长递增子序列，那么需要存储哪些信息？容易看出，只要存储序列a[0;i-1]中所有长度为k的递增子序列中结尾元素的最小值b[k]。因此，需要将循环不变式P增强为：P：0≤i＜n;k是序列a[0