小波分析在地球物理测井中的应用综述

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1、1小波分析简介1.1小波分析与Fourier分析、时频分析小波变换最早是由法国地球物理学家Morlet于20世纪80年代初在分析地球物理信号时提出来的。其基本思想是将对信号的频率域描述、分析改为在另外一个域（如尺度域），用联合的时间和尺度平面来描述信号。小波分析是用一簇函数去表示或逼近一个信号或函数，这一簇函数称为小波函数系。它是由基本小波函数经不同尺度的伸缩和平移构成的。小波分析与Fourier分析的本质区别在于：Fourier分析只是考虑时域和频域之间的一一对应映射，它以单个变量（时间或频率）的函数来表示信号；小波分析则利用联合时间—尺度函数分析非平稳信号。小波分析与时频分析的本

2、质区别在于：时频分析在时频平面上表示非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也是在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在所谓的时间—尺度平面上。短时Fourier变换是以同一种分辨率来观察信号，而小波分析则以不同的尺度或分辨率来观察信号。经过十几年的发展，小波分析在理论和方法上取得了突破性的进展，多分辨分析、框架和滤波器组三大理论为其典型代表[3]。1.2基本小波与小波函数系、小波变换的性质[3，4]我们称满足条件            的平方可积函数为一基本小波或小波母函数。常用的几种母小波函数主要有Haar母小波、高斯母小波、墨西哥草帽母小波、Morlet母小波等。也可定义为：若且

3、满足可容许条件  则称为容许（连续）小波或基本小波。由基本小波经平移和伸缩构成的一簇函数                  称为小波函数系，也统称为小波。式中为伸缩因子，又称为尺度因子；为时移量，又称为平移因子或时移因子。尺度参数大对应于低频端，且频率分辨率高、时间分辨率低；反之，尺度参数小对应于高频端，且频率分辨率低、时间分辨率高。连续小波变换的性质主要包括：线性、平移不变性、伸缩不变性、自相似性、冗余性等。2小波分析在测井中的应用研究现状2.1小波变换在测井曲线去噪中的应用[5]原始测井资料普遍存在着噪声，如放射性测井曲线上出现许多与地层性质无关的统计起伏变化，还有些测井曲线有时

4、受到某种因素的影响而出现与地层无关的毛刺干扰。抑制测井数据中的噪声是一个传统问题，通常采用频率域滤波和简单的平滑来对测井曲线作低通滤波，其特点见表1。以小波变换为基础的处理方法不但能够获得较高信噪比,而且能够保持良好的分辨率。小波域内软门限去噪方法简单易行，包括3个步骤:(1)对测井曲线进行小波分解，小波分解和重构按照Mallat塔式算法[3，4]进行；(2)利用非线性软门限函数作用于小波系数，将噪声和接近噪声强度的小波系数置零；(3)小波重构，得到滤去噪声的测井曲线，见图1。D.L.Donoho等人提出的小波域内应用软门限算法去噪是理想方法之一。采用该算法进行测井曲线去噪处理结果表

5、明，基于小波变换的去噪方法可以滤除测井曲线的噪声和干扰，而且比传统的滤波方法更为有效。2.2小波变换在提高测井曲线纵向分辨率中的应用[6，7]国内外已提出了一些提高测井曲线纵向分辨率的方法，如频域滤波法、反褶积法、最大熵法、分辨率匹配法等，并且取得了一定的效果。测井曲线的小波变换分析表明，常规测井曲线的小波频谱具有确定的特征。测井曲线频谱的某一频率段是某一厚度地层信息的表征，其中高频成分对应着薄地层的信息，围岩及测井仪器响应等影响因素对测井信号的综合影响相当于一个低通滤波器，地层真值经过滤波后，其薄层信息的能量被削弱，测井曲线变得平滑，对应于频率域则表现为其高频信息被削弱。因此，可运

6、用小波变换的以“分频加权重构”原则，首先对测井曲线进行小波分解，然后通过选取加权系数对曲线中的高频信息作能量补偿，然后再进行小波重构，不仅可以补偿薄层信息能量，而且可以使测井曲线上厚层中被削弱的地层界面得到一定程度的恢复，以便接近地层真值，从而提高测井曲线的纵向分辨率。其主要步骤包括：⑴对某井段的各测井曲线进行小波分解，将测井信号分为不同频道的小波变换信号；⑵对每一条原始测井曲线进行频谱分析以及各频道的频谱分析；⑶以分辨率较高的测井曲线频谱特征为标准，确定其他曲线上各频段的加权系数；⑷进行小波重构，得到初步提高分辨率的测井曲线；⑸对处理后的测井曲线进行频谱分析，用同一系列中分辨率最高

7、的曲线频谱作为标准频谱，将其他曲线的频谱与标准频谱进行对比，调整加权系数。例子见图2。图2表明，重构后的自然伽马测井曲线GRH比原始自然伽马测井曲线GR含有更丰富的细节信息,纵向分辨率提高了。对比发现经小波重构法处理的GR曲线比反褶积后的曲线在细节上的变化更为明显，更能反映细节值的变化，所以小波重构后的曲线比反褶积有更高的纵向分辨率。研究表明，利用小波分析技术对测井曲线进行高分辨率处理，将测井信号与低通滤波器和高通滤波器进行褶积运算，可以得到在不同频率下的