数学解题方法与技巧

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1、数学解题方法与技巧一、换元法“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)。就换元的具体形式而论，是

2、多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的

3、证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。例1分解因式：(x2-x-3)(x2-x-5)-3例2在实数集上解方程：例3设sinx+siny=1，求cosx+cosy的取值范围.例4设x,y∈R，且，求函数f(x,y)=x2+2xy+y2+x+2y的最小值和最大值。二、消元法对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通

4、过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。例1解方程组：x+1=yx-y-z=6例2解方程组：y-z-x=0z-x-y=-12例3、设a,b,c均为不等于1的正数，若ax=by=cz①②求证：abc=1三、待定系数法按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程

5、），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。一、比较系数法比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，即a0xn+a1xn-1+…+an≡b0xn+b1xn-1+…+bn的充分必要条件是a0

6、=b0,a1=b1,……an=bn。二、特殊值法特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。例1设二次函数的图象通过点A（-1，0）

7、，B（7，0），C（3，-8），求此二次函数的解析式。例2以x-1的幂表示多项式x3-x2+2x+2。例3分解因式：6x2+xy-2y2+x+10y-12.四、判别式法实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①的判别式△=b2-4ac具有以下性质：＞0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根△＝0，当且仅当方程①有两个相等的实数根；＜0，当且仅当方程②没有实数根。对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)②它的判别式△=b2-4ac具有以下性质：＞0，当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；△＝0

8、，当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；＜0，当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。例1已知关于x的二次方程x2+px+q=0有两正根求证：对于一切实数r≥0，方程qx2+(p-2rq)x+1-p=0也必有两正根。例2、x,y,z∈R,a∈R+，且x+y+z=a,x2+y2+z