第十章(第一部分)曲线积分

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1、第十章曲线积分与曲面积分（第一部分）曲线积分Ⅰ、对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）一、对弧长的曲线积分的概念1．定义.2．物理意义表示线密度为的弧段的质量.二、对弧长的曲线积分的性质1．线性性质：.2．可加性：若，则.3．的弧长：.4．单调性：设在上，.则.5．与积分曲线的方向无关性：三、对弧长的曲线积分的计算方法方法：化为定积分计算（注：下限<上限）（1）若；则.（2）若；则.（3）若；则—10—.（4）若；则.注被积函数可用积分曲线方程化简！四、对弧长的曲线积分典型例题例1．计算，其中为双曲线从点至点的弧段．分析　由于本题积分曲线的方程可化为或的形式，但考虑到化为以为积分变

2、量的定积分计算比较困难，故本题积分曲线应采用的形式。解由于，；所以.注由于被积函数定义在曲线上，故满足曲线的方程。因此，计算第一型曲线积分时应首先需要利用曲线方程化简被积函数，这是计算曲线积分的一个重要知识点.例2．设为椭圆，其周长记为，求.分析由于积分曲线可恒等变形为—10—，而被积函数中又含有，故可将代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分，由于关于轴（轴）对称，函数关于（或关于）为奇函数，故有.解由奇偶对称性可知，所以.例3．求，其中.分析此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分曲线是，而由轮换对称性可知：，由奇偶对称性知：.故本题有如下简单的解法。解.例4．

3、设曲线是球面与平面的交线，试求积分．解根据轮换对称性与代入技巧，有.这里为的长度，为球面与平面的交线，所以它是圆，现求它的半径—10—，原点到平面的距离是，因此，的半径为.五、对弧长的曲线积分的应用1．几何应用求曲线的弧长.2．物理应用质量.质心，.转动惯量，.引力.Ⅱ、对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）一、对坐标的曲线积分的概念1．定义.2．物理意义.变力沿所作的功.二、对坐标的曲线积分的性质1．线性性质：.2．可加性：若（方向不变），则.3．方向性：设是的反向曲线弧，则.三、对坐标的曲线积分的计算方法—10—1．直接计算法（化为定积分计算）.（注：下限起点，上限终点）（1）

4、设；从变到；则.（2）设；从变到；则.（3）设；从变到；则.（4）设；从变到；则.2．格林（Green）公式计算法.（注意使用条件！）（这里为区域的正向边界曲线）3．利用积分与路径无关的条件计算法.与路径无关，为区域内任意闭曲线.，─单连域，—单连域.—Newtonlebniz公式的推广。4．斯托克斯（Stokes）公式计算法.—10—（这里是有向曲面的正向边界曲线）注被积函数可用积分曲线方程化简！四、两类曲线积分之间的联系.其中、为有向曲线弧在点处的切向量的方向角.五、对坐标的曲面积分典型例题例1．计算曲线积分，其中为曲线沿增大的方向。分析由于，故曲线积分与路径有关。又因积分

5、曲线不是封闭的，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用添补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分曲线的方程改写为，再代入被积函数中计算。解由于，所以.例2．计算曲线积分，其中为有向闭折线，这里的、、依次为点、、.分析本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。解法1：化为定积分计算.由于（如图），这里—10—;从变到.;从变到.;

6、从变到.所以；；.从而.解法2：利用斯托克斯公式计算.设为平面上所围成部分的上侧，为在坐标面上的投影区域，则；由Stokes公式，得.例3．计算曲线积分．其中为圆周（按逆时针方向绕行）.分析由于本题积分曲线为圆周，故可首先写出的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算；另外，考虑到积分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算；此时应注意首先要利用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使其满足格林公式的条件。解法1：化为定积分计算。由于的参数方程为：，从变到.则—10—.解法2：利用格林公式计算。设由所围区域为，则；于是.例4．设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段

7、光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数。(1)证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；(2)求函数的表达式；(3)设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求．(1)证在右半平面内，任取两点，以为起点，为终点作任意光滑曲线，再以为起点，为终点作围绕原点的光滑曲线，由题设知所以，，即．(2)解因为对右半平面内任意分段光滑简单闭曲线，有—10—，所以．从而有所以，有，比较两边的同次幂系数得，由第一式得，代入第二式得，于是，.(3)解设为正向闭曲线所围区域，由(1)，利用Green公式和对称性