2018版高中数学人教版a版必修五学案：§3.2　一元二次不等式及其解法（一）

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1、2017-2018学年人教A版高中数学必修5学案[学习目标]　1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力．知识点一　一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式表达式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数解集ax2＋bx＋c＞0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c＜0(a≠0)解集

2、是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≥0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≤0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合思考　下列不等式是一元二次不等式的有________．①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.答案　①②解析　①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x

3、，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．92017-2018学年人教A版高中数学必修5学案知识点二　一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根，作出函数图象，当Δ<0时，直接作出函数图象草图；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．知识点三　“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝

4、0(a＞0)的根有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2有两个相等的实数根x1，x2没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x

5、x＜x1或x＞x2}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x

6、x1＜x＜x2}∅∅思考　若一元二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________．答案　(－∞，－1)解析　⇒⇒a＜－1.题型一　一元二次不等式的解法例1　解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－4x2＋18x－≥0；(3)－2x2＋3x－2＜0；(4)－x2＋3x－5＞0.92017-2018学年人教A版高中数学必修5学案解　(1)因为Δ＝7

7、2－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x

8、x＞－或x＜－3}．(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解

9、集为∅.反思与感悟　解一元二次不等式注意事项(1)先将二次项系数化为正数；(2)正确理解“Δ>0”“Δ<0”对于二次函数图象的意义；(3)答案要写成解集(或区间)形式．跟踪训练1　解下列不等式：(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x

10、x＜－1或x＞6}．(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图

11、象知，原不等式的解集为{x

12、x＜－3或x＞2}．(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x

13、x≠}．题型二　解含参数的一元二次不等式例2　解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．解　原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)＜0，当a＝0时，x＜1；92017-2018学年人教A版高中数学必修5学案当a＞0时，(x－1)＜0