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《a496--00年全国数模竞赛题目》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一九九六年全国大学生数学建模竞赛A题:最优捕鱼策略 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略： 假设这种鱼分４个年龄组：称１龄鱼，…，４龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（１/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条４龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；３龄鱼的产卵量为这
2、个数的一半，２龄鱼和１龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后４个月；卵孵化并成活为１龄鱼，成活率（１龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n). 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的８个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用１３mm网眼的拉网，这种网只能捕捞３龄鱼和４龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 １）建立数学模
3、型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。 ２）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务５年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。 1模型假设1)鱼分４个年龄组：称１龄鱼，…，４龄鱼.2)４龄鱼存活一年全部死亡.3)各年龄组鱼的自然死亡率均为r=0.8(１/年).4)3、4龄组鱼在每年
4、9月1号集中产卵，4龄组鱼产卵为n4=1.109×105(个)/条，3龄组鱼产卵为n3=(1/2)n4(个)/条.5)每年1月1号卵孵化并成活为１龄鱼，成活率（１龄鱼条数与产卵总数n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n).6)每年只允许在产卵卵化期前的８个月内进行捕捞作业,捕捞是一个连续过程.7)捕捞强度系数固定，只能捕捞３、４龄鱼，４龄鱼捕捞强度系数为b4=b,3龄鱼捕捞强度系数b3=0.42b.2问题1的模型建立(每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变)2.1.1变量定义参数定义单位t时间年xi(t)i龄鱼
5、的数量条gii龄鱼的重量(g1,g2,g3,g4)=(5.07,11.55,17.86,22.99)克aii龄鱼的年捕捞数量条w3、4龄龄鱼的年捕捞总重量w=g3a3+g4a4克2.1.2模型建立模型1.1４龄鱼存活一年全部死亡.记xi(0)为i龄鱼的年初的数量.对i=1,2(无捕捞情形)：由r的定义，得r==–xi¢(t)/xi(t),即xi(t)=–rxi¢(t).积分得xi(t)=xi(0)e–rt.对i=3,4,得当0≤t<2/3时有xi(t)=–(r+bi)xi¢(t),解为xi(t)=xi(0),当2/3≤t<1
6、3时xi(t)=–rxi¢(t),解为xi(t)=xi(2/3)e–r(t-2/3).由此得xi(1)=xi(0)e–r，i=1,2；xi(2/3)=xi(0)，xi(1)=xi(0),i=3,4.由假设4)3、4龄龄鱼的年产卵总数n=x3(2/3)n3+x4(2/3)n4=[0.5x3(2/3)+x4(2/3)]n4=[0.5x3(0)e–(2/3)(r+.042b)+x4(0)e–(2/3)(r+.b)]n4,3、4龄龄鱼的年捕捞总重量w(b)=g3a3+g4a4===[0.42g3x3(0)(r+0.42b)–1(1–
7、e–(2/3)(r+.042b))+g4x4(0)(r+b)–1(1–e–(2/3)(r+b))]b.由题设每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变，所以有xi(1)=xi(0),(i=1,2,3,4),记xi(1)=xi(0)=xi,(i=1,2,3,4),k=1.22×1011,问题为求：minw(b)=[0.42g3x3(r+0.42b)–1(1–e–(2/3)(r+.042b))+g4x4(r+b)–1(1–e–(2/3)(r+b))]b.s.t.x1=kn/(k+n),n=[0.5x3e–(2/3)(r+.042b)+
8、x4e–(2/3)(r+.b)]n4,xi+1=xie–r，i=1,2,x4=x3e–r+0.84b/3=x3e–r–0.28b.由于x3=x1e–2r,x4=x1e–3r–0.28b，则n=[0.5e–8r/3–0.28b+e–11r/3–(2+0.84)b/3)]n4x1.记D=[0.
