平行四边形典型问题分类解析

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1、平行四边形典型问题分类解析为了开阔同学们的视野，特就一些平行四边形典型问题分类选解几例，希望同学们从中得到启示．1．证明线段垂直例1已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，M为AB的中点，求证：CM⊥DM．分析：根据平行四边形的性质，不仅对角相等，而且相邻角的角也互补，这就为证明垂直提供了充分的条件．又有已知中AB=2BC和M为AB的中点，可以得到相等的角．其中有内错角相等，也有等边对等角性质的应用，使∠CDM＋∠DCM=，可使问题得到解决．证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AMDBC例1

2、图∴∠AMD=∠CDM，∠BMC=∠DCM，∵AB=2BC，M是AB的中点，∴AD=AM=BM=BC．∴∠ADM=∠AMD，∠BMC=∠BCM∴∠ADM=∠CDM，∠BCM=∠DCM，∴∠CDM=∠ADC，∠DCM=∠BCD．又∠ADC＋∠BCD=，∴∠CDM＋∠DCM=，即∠DMC=．∴CM⊥DM．评析：本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质，证明了CM、DM所在的三角形两锐角互余，由三角形内角和定理得出∠DMC=，从而得到结论．这是证明两线段互相垂直的常用方法．ACOFBDE例2图2．证明线段平行例2如图，AB、

3、CD交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别为OC、OD的中点，连结AF、BE．求证：AF∥BE．分析：从已知条件可证△AOC≌△BOD，得到OC=OD，又有E、F为OC、OD中点，则OE=OF，判定四边形AFBE为平行四边形，即有AF∥BE．证明：连结BF、AE，∵AC∥DB，∴∠C=∠D．在△AOC和△BOD中，有∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD．又E、F为OC、OD的中点，∴OE=OF，∴四边形AFBE是平行四边形，∴AF∥BE．评析：学习了平行四边形以后，又多了一种证明平行线的方法．3．证明线段相等例3如

4、图，△ABC中，AB=AC，P是BC上的一点，PE∥AC，PF∥AB，分别交AB、AC于E、F，请猜出线段PE、PF、AB之间存在什么关系，并证明你的猜想．EBPCFA例3图分析：从已知条件中不难证明PF=AE，PE=BE，从而PE、PF、AB之间满则关系式PE＋PF=AB．即猜想结论：PE＋PF=AB．证明：∵PE∥AC，∴∠BPE=∠C．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BPE=∠B，∴PE=BE．PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF=AE．∵BE＋AE=AB，∴PE＋PF=AB．评析：在解决

5、此类探索性问题时，一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论，这就是对猜想问题的常用解题思路．4．求线段的长度例4如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=，∠B=，∠C=，求AD的长．DCBAE例4图分析：要求AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由∠A和∠B的关系可以判定AD∥BC，这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得以解决．解：点C作CE∥AB交AD于E，∵∠A＋∠B=，∴AD∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形．∴AE=BC=8，CE=

6、AB=6，∠BCE=∠A=．又∵∠BCD=，∴∠DCE=．而∠D=－－－=，∴∠D=∠DCE=，∴DE=CE，∴AD=8＋6=14．评析：在判定AD∥BC后，辅助线的添加是解题的关键，虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循，但可以通过分析已知条件与待求结论，从中得到启发，从而正确地作出辅助线．